integra x*e^x — solução passo a passo

Vamos calcular a integral:

\int x e^{x} d x

⇥Para

x e^{x}

, utilizamos a integração por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

com u1 =

x

e v2' =

e^{x}

⇥Portanto,

u1'

vale

1

⇥Vamos calcular a integral v2':

\int e^{x} d x

⇥ⓘ A derivada de

e^{x}

e^{x}

, pelo que

e^{x}

é uma primitiva de

e^{x}

\int e^{x} d x

e^{x}

⇥

e^{x}

⇥Vamos calcular

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

x e^{x} - \int e^{x} d x

⇥ⓘ A derivada de

- e^{x}

- e^{x}

, pelo que

- e^{x}

é uma primitiva de

- e^{x}

- \int e^{x} d x

- e^{x}

⇥

x e^{x} - e^{x}

Depois continuamos a integração:

ⅰ

\int x e^{x} d x

x e^{x} - e^{x}

x e^{x} - e^{x}

Podemos fatorizar a expressão como:

e^{x} \cdot (x - 1)

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

e^{x} \cdot (x - 1) + C