integral de 1/(1-x^2) entre -1/4 e 1/4

1) Vamos integrar:

\int_{- \frac{1}{4}}^{\frac{1}{4}} \frac{1}{1 - x^{2}} d x

2) Vamos fatorizar em

ℝ

1 - x^{2}

Para

1 - x^{2}

, reconhecemos uma diferença de quadrados:

1^{2} - x^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, com

a = 1

b = x

Fatores encontrados:

(1 - x) \cdot (x + 1)

3) Podemos decompor em frações parciais:

\frac{1}{(1 - x) \cdot (x + 1)} = \frac{A}{1 - x} + \frac{B}{x + 1}

Para o fator simples

1 - x

e a sua raiz

1

, calculamos a incógnita A multiplicando pelo denominador

1 - x^{2}

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

4) Vamos resolver em

ℝ

(1 + 1) \cdot A = 1

ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

1 + 1

2

2 A = 1

ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

Solução obtida:

A = \frac{1}{2}

Para o fator simples

x + 1

e a sua raiz

-1

, calculamos a incógnita B multiplicando pelo denominador

1 - x^{2}

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

5) Vamos resolver em

ℝ

(1 + 1) \cdot B = 1

ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

1 + 1

2

2 B = 1

ⓘ Dividimos ambos os membros por

2

Solução obtida:

B = \frac{1}{2}

6) Finalmente, substituímos os valores das incógnitas na decomposição racional inicial:

\frac{1}{(1 - x) \cdot (x + 1)} = \frac{1}{2 \cdot (1 - x)} + \frac{1}{2 \cdot (x + 1)}

7) Vamos calcular a integral:

\int (\frac{1}{2 \cdot (1 - x)} + \frac{1}{2 \cdot (x + 1)}) d x

ⅰ

\int (\frac{1}{2 \cdot (1 - x)} + \frac{1}{2 \cdot (x + 1)}) d x

\int \frac{1}{2 \cdot (1 - x)} d x + \int \frac{1}{2 \cdot (x + 1)} d x

\int \frac{1}{2 \cdot (1 - x)} d x + \int \frac{1}{2 \cdot (x + 1)} d x

Fazemos

u = 2 - 2 x

. Então

du = - 2 dx

, pelo que

dx = - \frac{du}{2}

\int \frac{1}{2 \cdot (1 - x)} d x = - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u} d u

Utilizamos

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. O valor absoluto permite tratar ambos os sinais do denominador, em qualquer intervalo onde

2 - 2 x \neq 0

Substituímos

u

por

2 - 2 x

na primitiva

Fazemos

u = 2 x + 2

. Então

du = 2 dx

, pelo que

dx = \frac{du}{2}

\int \frac{1}{2 \cdot (x + 1)} d x = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u} d u

Utilizamos

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. O valor absoluto permite tratar ambos os sinais do denominador, em qualquer intervalo onde

2 x + 2 \neq 0

Substituímos

u

por

2 x + 2

na primitiva

ⓘ A derivada de

\frac{1}{2} \cdot \ln | 2 x + 2 |

\frac{1}{2 \cdot (x + 1)}

, pelo que

\frac{1}{2} \cdot \ln | 2 x + 2 |

é uma primitiva de

\frac{1}{2 \cdot (x + 1)}

\int \frac{1}{2 \cdot (x + 1)} d x

\frac{1}{2} \cdot \ln | 2 x + 2 |

- \frac{1}{2} \cdot \ln | 2 - 2 x | + \frac{1}{2} \cdot \ln | 2 x + 2 |

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2} \cdot \ln | 2 - 2 x |

\frac{1 \cdot \ln | 2 - 2 x |}{2}

\frac{\ln | 2 - 2 x |}{2}

\frac{1}{2} \cdot \ln | 2 x + 2 |

\frac{1 \cdot \ln | 2 x + 2 |}{2}

\frac{\ln | 2 x + 2 |}{2}

■Para argumentos estritamente positivos, uma soma de logaritmos é o logaritmo do produto e uma diferença é o do quociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

- \frac{\ln | 2 - 2 x |}{2} + \frac{\ln | 2 x + 2 |}{2}

\ln (\frac{\sqrt{| 2 x + 2 |}}{\sqrt{| 2 - 2 x |}})

ⅰ

\int \frac{1}{1 - x^{2}} d x

\ln (\frac{\sqrt{| 2 x + 2 |}}{\sqrt{| 2 - 2 x |}})

▷

\ln (\frac{\sqrt{| 2 x + 2 |}}{\sqrt{| 2 - 2 x |}})

8) Vamos avaliar no intervalo

[- \frac{1}{4}; \frac{1}{4}]

\ln (\frac{\sqrt{| 2 \cdot \frac{1}{4} + 2 |}}{\sqrt{| 2 - 2 \cdot \frac{1}{4} |}}) - \ln (\frac{\sqrt{| 2 \cdot (- \frac{1}{4}) + 2 |}}{\sqrt{| 2 - 2 \cdot (- \frac{1}{4}) |}})

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

2 \cdot \frac{1}{4}

\frac{2 \cdot 1}{4}

\frac{2}{4}

■Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{4}

\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

\frac{1}{2}

- \frac{2}{4}

- \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

- \frac{1}{2}

■Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

2 \cdot (- \frac{1}{4})

- 2 \cdot \frac{1}{4}

■Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

- 2 \cdot (- \frac{1}{4})

2 \cdot \frac{1}{4}

\ln (\frac{\sqrt{| \frac{1}{2} + 2 |}}{\sqrt{| 2 - \frac{1}{2} |}}) - \ln (\frac{\sqrt{| - 2 \cdot \frac{1}{4} + 2 |}}{\sqrt{| 2 + 2 \cdot \frac{1}{4} |}})

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{1}{2} + 2

\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}

2 - \frac{1}{2}

\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}

■Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

2 \cdot \frac{1}{4}

\frac{2 \cdot 1}{4}

\frac{2}{4}

■Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{2}{4}

- \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

- \frac{1}{2}

\frac{2}{4}

\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

\frac{1}{2}

\ln (\frac{\sqrt{| \frac{1 + 2 \cdot 2}{2} |}}{\sqrt{| \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} |}}) - \ln (\frac{\sqrt{| - \frac{1}{2} + 2 |}}{\sqrt{| 2 + \frac{1}{2} |}})

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 2

4

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{1}{2} + 2

\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}

2 + \frac{1}{2}

\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}

\ln (\frac{\sqrt{| \frac{1 + 4}{2} |}}{\sqrt{| \frac{4 - 1}{2} |}}) - \ln (\frac{\sqrt{| \frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2} |}}{\sqrt{| \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} |}})

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 4

5

4 - 1

3

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot 2

4

\ln (\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}) - \ln (\frac{\sqrt{| \frac{- 1 + 4}{2} |}}{\sqrt{| \frac{4 + 1}{2} |}})

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 1 + 4

3

4 + 1

5

\ln (\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}) - \ln (\frac{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}{\sqrt{| \frac{5}{2} |}})

ⓘ Para argumentos estritamente positivos, uma soma de logaritmos é o logaritmo do produto e uma diferença é o do quociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

\ln (\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}) - \ln (\frac{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}{\sqrt{| \frac{5}{2} |}})

\ln (\frac{\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}}{\frac{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}})

\ln (\frac{\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}}{\frac{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}})

ⓘ Dividir equivale a multiplicar pelo inverso:

\frac{\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}}{\frac{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}}

\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}} \cdot \frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}} \cdot \frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}}

{(\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}})}^{2}

\ln ({(\frac{\sqrt{| \frac{5}{2} |}}{\sqrt{| \frac{3}{2} |}})}^{2})

ⓘ A expressão dentro do valor absoluto é positiva ou nula, pelo que o seu valor absoluto é igual a essa expressão:

| \frac{5}{2} |

\frac{5}{2}

| \frac{3}{2} |

\frac{3}{2}

\ln ({(\frac{\sqrt{\frac{5}{2}}}{\sqrt{\frac{3}{2}}})}^{2})

ⓘ A raiz de um quociente é o quociente das raízes,

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

\sqrt{\frac{5}{2}}

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}

\sqrt{\frac{3}{2}}

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}

■A potência de um quociente é o quociente das potências,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}})}^{2}

\frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}})}^{2}}{{(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})}^{2}}

\ln (\frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}})}^{2}}{{(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})}^{2}})

ⓘ A potência de um quociente é o quociente das potências,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}})}^{2}

\frac{{(\sqrt{5})}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}

{(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})}^{2}

\frac{{(\sqrt{3})}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}

\ln (\frac{\frac{{(\sqrt{5})}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}}{\frac{{(\sqrt{3})}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}})

ⓘ Dividir equivale a multiplicar pelo inverso:

\frac{\frac{{(\sqrt{5})}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}}{\frac{{(\sqrt{3})}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}}

\frac{{(\sqrt{5})}^{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} \cdot \frac{{(\sqrt{2})}^{2}}{{(\sqrt{3})}^{2}}

■Numa potência de uma potência, multiplicam-se os expoentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(\sqrt{5})}^{2}

5^{\frac{1}{2} \cdot 2}

{(\sqrt{2})}^{2}

2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

{(\sqrt{3})}^{2}

3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\ln (\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2} \cdot 2

\frac{1 \cdot 2}{2}

\frac{2}{2}

■Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{5^{\frac{2}{2}}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}

\frac{5^{\frac{2}{2}} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{\frac{2}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum

2^{\frac{2}{2}}

\frac{5^{\frac{2}{2}} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{\frac{2}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}}

\frac{5^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}

\ln (\frac{5^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}})

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{2}{2}

1

\ln (\frac{5^{1}}{3^{1}})

▶Integral:

\ln (\frac{5}{3})

9) O valor numérico de:

\ln (\frac{5}{3})

vale:

\ln (\approx 1,6667)

▷

\approx 0,5108