integral de 1/(12sqrt(x)+12x) — solução passo a passo

1) Antes de integrar, vamos calcular:

\frac{1}{12 \sqrt{x} + 12 x}

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{1}{12 \sqrt{x} + 12 x}

\frac{1}{12 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}

\frac{1}{12 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}

2) Vamos integrar:

\int \frac{1}{12 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})} d x

Para a expressão matemática

\frac{1}{12 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}

, sabendo que (ln(a))' = a'/a, tentamos derivar

\ln (1 + \sqrt{x})

3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\ln (1 + \sqrt{x}))

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

com f =

1 + \sqrt{x}

ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (1 + \sqrt{x}))

\frac{d}{d x} (1 + \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{1 + \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (1 + \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{1 + \sqrt{x}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{d}{d x} (1 + \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{1 + \sqrt{x}}

\frac{\frac{d}{d x} (1 + \sqrt{x}) \cdot 1}{1 + \sqrt{x}}

\frac{\frac{d}{d x} (1 + \sqrt{x})}{1 + \sqrt{x}}

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (1 + \sqrt{x})

0 + \frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{0 + \frac{d}{d x} (\sqrt{x})}{1 + \sqrt{x}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

■A derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1 + \sqrt{x}}

ⓘ Dividir uma fração por

1 + \sqrt{x}

equivale a multiplicar o seu denominador por

1 + \sqrt{x}

\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1 + \sqrt{x}}

\frac{1}{2 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}

\frac{1}{2 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⓘ A derivada de

\frac{1}{6} \cdot \ln (1 + \sqrt{x})

\frac{1}{12 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}

, pelo que

\frac{1}{6} \cdot \ln (1 + \sqrt{x})

é uma primitiva de

\frac{1}{12 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})}

\int \frac{1}{12 \sqrt{x} \cdot (1 + \sqrt{x})} d x

\frac{1}{6} \cdot \ln (1 + \sqrt{x})

\frac{1}{6} \cdot \ln (1 + \sqrt{x})

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{6} \cdot \ln (1 + \sqrt{x})

\frac{1 \cdot \ln (1 + \sqrt{x})}{6}

\frac{\ln (1 + \sqrt{x})}{6}

\frac{\ln (1 + \sqrt{x})}{6}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{\ln (\sqrt{x} + 1)}{6} + C