integral de 1/(2-t)+1/(2+t) — solução passo a passo

Vamos calcular a integral:

\int (\frac{1}{2 - t} + \frac{1}{2 + t}) d t

ⅰ

\int (\frac{1}{2 - t} + \frac{1}{2 + t}) d t

\int \frac{1}{2 - t} d t + \int \frac{1}{2 + t} d t

\int \frac{1}{2 - t} d t + \int \frac{1}{2 + t} d t

Fazemos

u = 2 - t

. Então

du = - dt

, pelo que

dt = - du

\int \frac{1}{2 - t} d t = -1 \cdot \int \frac{1}{u} d u

Utilizamos

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. O valor absoluto permite tratar ambos os sinais do denominador, em qualquer intervalo onde

2 - t \neq 0

Substituímos

u

por

2 - t

na primitiva

Fazemos

u = 2 + t

. Então

du = dt

, pelo que

dt = du

\int \frac{1}{2 + t} d t = \int \frac{1}{u} d u

Utilizamos

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. O valor absoluto permite tratar ambos os sinais do denominador, em qualquer intervalo onde

2 + t \neq 0

Substituímos

u

por

2 + t

na primitiva

ⓘ A derivada de

\ln | 2 + t |

\frac{1}{2 + t}

, pelo que

\ln | 2 + t |

é uma primitiva de

\frac{1}{2 + t}

\int \frac{1}{2 + t} d t

\ln | 2 + t |

- 1 \cdot \ln | 2 - t | + \ln | 2 + t |

ⓘ Multiplicar por 1 não altera o valor:

1 \cdot \ln | 2 - t |

\ln | 2 - t |

- \ln | 2 - t | + \ln | 2 + t |

ⓘ Para argumentos estritamente positivos, uma soma de logaritmos é o logaritmo do produto e uma diferença é o do quociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

- \ln | 2 - t | + \ln | 2 + t |

\ln (\frac{| 2 + t |}{| 2 - t |})

\ln (\frac{| 2 + t |}{| 2 - t |})

ⓘ O quociente dos valores absolutos é o valor absoluto do quociente:

\frac{| 2 + t |}{| 2 - t |}

| \frac{2 + t}{2 - t} |

\ln | \frac{2 + t}{2 - t} |

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\ln | \frac{t + 2}{2 - t} | + C