integral de 1/(2-x^2) — solução passo a passo

1) Vamos calcular a integral:

\int \frac{1}{2 - x^{2}} d x

2) Vamos fatorizar em

ℝ

2 - x^{2}

Para

2 - x^{2}

, reconhecemos uma diferença de quadrados:

{(\sqrt{2})}^{2} - x^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, com

a = \sqrt{2}

b = x

Fatores encontrados:

(\sqrt{2} - x) \cdot (x + \sqrt{2})

3) Podemos decompor em frações parciais:

\frac{1}{(\sqrt{2} - x) \cdot (x + \sqrt{2})} = \frac{A}{\sqrt{2} - x} + \frac{B}{x + \sqrt{2}}

Para o fator simples

\sqrt{2} - x

e a sua raiz

\sqrt{2}

, calculamos a incógnita A multiplicando pelo denominador

2 - x^{2}

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

4) Vamos resolver em

ℝ

(\sqrt{2} + \sqrt{2}) \cdot A = 1

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

\sqrt{2} + \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2} \cdot A = 1

ⓘ Dividimos ambos os membros por

2 \cdot \sqrt{2}

A = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}}

Por convenção, preferimos as raízes quadradas numéricas no numerador em vez do denominador:

ⅰ

\frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}}

\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}

A = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}

ⅰ

2 \cdot 2

4

Solução encontrada:

A = \frac{\sqrt{2}}{4}

Para o fator simples

x + \sqrt{2}

e a sua raiz

- \sqrt{2}

, calculamos a incógnita B multiplicando pelo denominador

2 - x^{2}

e avaliando na raiz, pois os outros termos anulam-se:

5) Vamos resolver em

ℝ

(\sqrt{2} + \sqrt{2}) \cdot B = 1

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

\sqrt{2} + \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2}

2 \cdot \sqrt{2} \cdot B = 1

ⓘ Dividimos ambos os membros por

2 \cdot \sqrt{2}

B = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}}

Por convenção, preferimos as raízes quadradas numéricas no numerador em vez do denominador:

ⅰ

\frac{1}{2 \cdot \sqrt{2}}

\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}

B = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}

ⅰ

2 \cdot 2

4

Solução obtida:

B = \frac{\sqrt{2}}{4}

6) Finalmente, substituímos os valores das incógnitas na decomposição racional inicial:

\frac{1}{(\sqrt{2} - x) \cdot (x + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (\sqrt{2} - x)} + \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})}

7) Vamos calcular a integral:

\int (\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (\sqrt{2} - x)} + \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})}) d x

ⅰ

\int (\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (\sqrt{2} - x)} + \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})}) d x

\int \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (\sqrt{2} - x)} d x + \int \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})} d x

\int \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (\sqrt{2} - x)} d x + \int \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})} d x

Fazemos

u = 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x

. Então

du = - 4 dx

, pelo que

dx = - \frac{du}{4}

\int \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (\sqrt{2} - x)} d x = - \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \int \frac{1}{u} d u

Utilizamos

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. O valor absoluto permite tratar ambos os sinais do denominador, em qualquer intervalo onde

4 \cdot \sqrt{2} - 4 x \neq 0

Substituímos

u

por

4 \cdot \sqrt{2} - 4 x

na primitiva

Fazemos

u = 4 x + 4 \cdot \sqrt{2}

. Então

du = 4 dx

, pelo que

dx = \frac{du}{4}

\int \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})} d x = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \int \frac{1}{u} d u

Utilizamos

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. O valor absoluto permite tratar ambos os sinais do denominador, em qualquer intervalo onde

4 x + 4 \cdot \sqrt{2} \neq 0

Substituímos

u

por

4 x + 4 \cdot \sqrt{2}

na primitiva

ⓘ A derivada de

\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |

\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})}

, pelo que

\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |

é uma primitiva de

\frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})}

\int \frac{\sqrt{2}}{4 \cdot (x + \sqrt{2})} d x

\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |

- \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \ln | 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x | + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \ln | 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x |

\frac{\sqrt{2} \cdot \ln | 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x |}{4}

\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |

\frac{\sqrt{2} \cdot \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |}{4}

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{\sqrt{2} \cdot \ln | 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x |}{4} + \frac{\sqrt{2} \cdot \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |}{4}

\frac{- \sqrt{2} \cdot \ln | 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x | + \sqrt{2} \cdot \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |}{4}

\frac{- \sqrt{2} \cdot \ln | 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x | + \sqrt{2} \cdot \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |}{4}

ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{- \sqrt{2} \cdot \ln | 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x | + \sqrt{2} \cdot \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |}{4}

\frac{\sqrt{2} \cdot (- \ln | 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x | + \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |)}{4}

\frac{\sqrt{2} \cdot (- \ln | 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x | + \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |)}{4}

ⓘ Para argumentos estritamente positivos, uma soma de logaritmos é o logaritmo do produto e uma diferença é o do quociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

- \ln | 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x | + \ln | 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |

\ln (\frac{| 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |}{| 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x |})

\frac{\sqrt{2} \cdot \ln (\frac{| 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |}{| 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x |})}{4}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{| 4 x + 4 \cdot \sqrt{2} |}{| 4 \cdot \sqrt{2} - 4 x |}

\frac{| x + \sqrt{2} |}{| \sqrt{2} - x |}

\frac{\sqrt{2} \cdot \ln (\frac{| x + \sqrt{2} |}{| \sqrt{2} - x |})}{4}

ⓘ O quociente dos valores absolutos é o valor absoluto do quociente:

\frac{| x + \sqrt{2} |}{| \sqrt{2} - x |}

| \frac{x + \sqrt{2}}{\sqrt{2} - x} |

ⅰ

\int \frac{1}{2 - x^{2}} d x

\frac{\sqrt{2} \cdot \ln | \frac{x + \sqrt{2}}{\sqrt{2} - x} |}{4}

\frac{\sqrt{2} \cdot \ln | \frac{x + \sqrt{2}}{\sqrt{2} - x} |}{4}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{\ln | \frac{x + \sqrt{2}}{\sqrt{2} - x} | \cdot \sqrt{2}}{4} + C