integral de 1/(4sec(y)) — solução passo a passo

A secante é interpretada como

\sec (u) = \frac{1}{\cos (u)}

, em cada intervalo onde

\cos (u) \neq 0

1) Antes de integrar, vamos calcular:

\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{\cos (y)}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

4 \cdot \frac{1}{\cos (y)}

\frac{4 \cdot 1}{\cos (y)}

\frac{4}{\cos (y)}

\frac{1}{\frac{4}{\cos (y)}}

ⓘ Dividir equivale a multiplicar pelo inverso:

\frac{1}{\frac{4}{\cos (y)}}

\frac{\cos (y)}{4}

\frac{\cos (y)}{4}

2) Vamos integrar:

\int \frac{\cos (y)}{4} d y

Para a expressão matemática

\frac{\cos (y)}{4}

, sabendo que (sin(a))' = a'*cos(a), tentamos derivar

\sin (y)

3) Vamos derivar:

\frac{d}{d y} (\sin (y))

ⓘ A derivada de

\sin (y)

\cos (y)

\frac{d}{d y} (\sin (y))

\cos (y)

\cos (y)

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⓘ A derivada de

\frac{1}{4} \cdot \sin (y)

\frac{\cos (y)}{4}

, pelo que

\frac{1}{4} \cdot \sin (y)

é uma primitiva de

\frac{\cos (y)}{4}

\int \frac{\cos (y)}{4} d y

\frac{1}{4} \cdot \sin (y)

\frac{1}{4} \cdot \sin (y)

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{4} \cdot \sin (y)

\frac{1 \cdot \sin (y)}{4}

\frac{\sin (y)}{4}

\frac{\sin (y)}{4}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{\sin (y)}{4} + C