integral de 1/((arcsin(x))^3sqrt(1-x^2))

1) Vamos integrar:

\int \frac{1}{{\arcsin (x)}^{3} \cdot \sqrt{1 - x^{2}}} d x

Para a expressão matemática

\frac{1}{{\arcsin (x)}^{3} \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

, sabendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), tentamos derivar

{\arcsin (x)}^{- 3 + 1}

2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({\arcsin (x)}^{- 3 + 1})

ⓘ O expoente calcula-se antes da potência:

- 3 + 1

-2

\frac{d}{d x} ({\arcsin (x)}^{-2})

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

\arcsin (x)

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({\arcsin (x)}^{-2})

-2 \cdot \frac{d}{d x} (\arcsin (x)) \cdot {\arcsin (x)}^{-3}

-2 \cdot \frac{d}{d x} (\arcsin (x)) \cdot {\arcsin (x)}^{-3}

ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

- 2 \cdot \frac{d}{d x} (\arcsin (x)) \cdot {\arcsin (x)}^{-3}

- \frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (\arcsin (x))}{{\arcsin (x)}^{3}}

- \frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (\arcsin (x))}{{\arcsin (x)}^{3}}

ⓘ A derivada de

\arcsin (x)

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

\frac{d}{d x} (\arcsin (x))

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

- \frac{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{{\arcsin (x)}^{3}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

\frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

\frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}

- \frac{\frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{{\arcsin (x)}^{3}}

ⓘ Dividir uma fração por

{\arcsin (x)}^{3}

equivale a multiplicar o seu denominador por

{\arcsin (x)}^{3}

- \frac{\frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{{\arcsin (x)}^{3}}

- \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}} \cdot {\arcsin (x)}^{3}}

- \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}} \cdot {\arcsin (x)}^{3}}

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⓘ A derivada de

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\arcsin (x)}^{2}}

\frac{1}{{\arcsin (x)}^{3} \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

, pelo que

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\arcsin (x)}^{2}}

é uma primitiva de

\frac{1}{{\arcsin (x)}^{3} \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

\int \frac{1}{{\arcsin (x)}^{3} \cdot \sqrt{1 - x^{2}}} d x

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\arcsin (x)}^{2}}

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\arcsin (x)}^{2}}

ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\arcsin (x)}^{2}}

- \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot {\arcsin (x)}^{2}}

- \frac{1}{2 \cdot {\arcsin (x)}^{2}}

- \frac{1}{2 \cdot {\arcsin (x)}^{2}}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

- \frac{1}{2 \cdot {\arcsin (x)}^{2}} + C