integral de 1/(sqrt(2x))cos(sqrt(2x))

⚠ 1/(sqrt(2x))cos(sqrt(2x)) é interpretado como 1/(sqrt(2x))*cos(sqrt(2x)): utilize (...)*(...) para uma multiplicação, utilize (...)^(...) para uma potência

1) Antes de integrar, vamos calcular:

\frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot \cos (\sqrt{2 x})

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot \cos (\sqrt{2 x})

\frac{1 \cdot \cos (\sqrt{2 x})}{\sqrt{2 x}}

\frac{\cos (\sqrt{2 x})}{\sqrt{2 x}}

\frac{\cos (\sqrt{2 x})}{\sqrt{2 x}}

2) Vamos calcular a integral:

\int \frac{\cos (\sqrt{2 x})}{\sqrt{2 x}} d x

Para a expressão matemática

\frac{\cos (\sqrt{2 x})}{\sqrt{2 x}}

, sabendo que (sin(a))' = a'*cos(a), tentamos derivar

\sin (\sqrt{2 x})

3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\sin (\sqrt{2 x}))

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

com f =

\sqrt{2 x}

ⓘ A derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (\sqrt{2 x}))

\frac{d}{d x} (\sqrt{2 x}) \cdot \cos (\sqrt{2 x})

\frac{d}{d x} (\sqrt{2 x}) \cdot \cos (\sqrt{2 x})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\sqrt{f}) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{f}}

com f =

2 x

ⓘ A derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{2 x})

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x}} \cdot \cos (\sqrt{2 x})

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2 x}} \cdot \cos (\sqrt{2 x})

\frac{\frac{d}{d x} (2 x) \cdot 1 \cdot \cos (\sqrt{2 x})}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

\frac{\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (\sqrt{2 x})}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

\frac{\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (\sqrt{2 x})}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

\frac{2 \cdot \cos (\sqrt{2 x})}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 \cdot \cos (\sqrt{2 x})}{2 \cdot \sqrt{2 x}}

\frac{\cos (\sqrt{2 x})}{\sqrt{2 x}}

\frac{\cos (\sqrt{2 x})}{\sqrt{2 x}}

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⓘ A derivada de

\sin (\sqrt{2 x})

\frac{\cos (\sqrt{2 x})}{\sqrt{2 x}}

, pelo que

\sin (\sqrt{2 x})

é uma primitiva de

\frac{\cos (\sqrt{2 x})}{\sqrt{2 x}}

\int \frac{\cos (\sqrt{2 x})}{\sqrt{2 x}} d x

\sin (\sqrt{2 x})

\sin (\sqrt{2 x})

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\sin (\sqrt{2 x}) + C