integral de 12x^2ln(x) — solução passo a passo

1) Vamos integrar:

\int 12 x^{2} \cdot \ln (x) d x

⇥Retiramos o fator constante

12

da integral. Para

12 x^{2} \cdot \ln (x)

, utilizamos a integração por partes:

\int 12 \cdot u1 \cdot v2' d x = 12 \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x)

com u1 =

\ln (x)

e v2' =

x^{2}

⇥1.1) Vamos derivar u1:

\frac{d}{d x} (\ln (x))

⇥ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥1.2) Vamos integrar v2':

\int x^{2} d x

⇥ⓘ Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

⇥

\frac{x^{3}}{3}

⇥1.3) Vamos avaliar

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{1 \cdot x^{3}}{x \cdot 3}

\frac{x^{3}}{x \cdot 3}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

\frac{x^{3}}{x \cdot 3}

\frac{x^{2}}{3}

⇥

\frac{x^{2}}{3}

⇥1.4) Vamos calcular

12 \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x)

12 \cdot (\ln (x) \cdot \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{x^{2}}{3} d x)

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\ln (x) \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{\ln (x) \cdot x^{3}}{3}

■Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int \frac{x^{2}}{3} d x

- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥

12 \cdot (\frac{\ln (x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3})

⇥ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{1 \cdot x^{3}}{3 \cdot 3}

\frac{x^{3}}{9}

⇥

12 \cdot (\frac{\ln (x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9})

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{\ln (x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}

\frac{3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3}}{9}

⇥

12 \cdot (\frac{3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3}}{9})

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

12 \cdot \frac{3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3}}{9}

\frac{12 \cdot (3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3})}{9}

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{12 \cdot (3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3})}{9}

\frac{4 \cdot (3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3})}{3}

⇥

\frac{4 \cdot (3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3})}{3}

⇥ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{4 \cdot (3 \cdot \ln (x) \cdot x^{3} - x^{3})}{3}

\frac{4 x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)}{3}

⇥

\frac{4 x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)}{3}

Finalmente terminamos a integração:

ⅰ

\int 12 x^{2} \cdot \ln (x) d x

\frac{4 x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)}{3}

\frac{4 x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)}{3}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

4 x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (x) - 1)

12 x^{3} \cdot \ln (x) + 4 \cdot (- x^{3})

\frac{12 x^{3} \cdot \ln (x) + 4 \cdot (- x^{3})}{3}

ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

4 \cdot (- x^{3})

- 4 x^{3}

\frac{12 x^{3} \cdot \ln (x) - 4 x^{3}}{3}

ⓘ Uma fração cujo numerador é uma soma separa-se termo a termo:

\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}

, para

c \neq 0

\frac{12 x^{3} \cdot \ln (x) - 4 x^{3}}{3}

4 \cdot x^{3} \cdot \ln (x) - \frac{4 x^{3}}{3}

4 \cdot x^{3} \cdot \ln (x) - \frac{4 x^{3}}{3}

Colocamos em evidência

4

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

4 x^{3} \cdot \ln (x) - \frac{4 x^{3}}{3}

4 \cdot (x^{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{3})

Fator encontrado:

x^{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{3}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

4 \cdot (x^{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{3}) + C