integral de 2/3 x^{3/2}-9sin(x) — solução passo a passo

⚠ 2/3 x^{3/2}-9sin(x) é interpretado como (2/3)*x^(3/2)-9*sin(x): utilize (2/3)*x^{3/2} para multiplicar pelo fator seguinte, utilize 2/(3*x^{3/2}) para o incluir no denominador, utilize ^(...) para agrupar um expoente, utilize * para multiplicar

1) Antes de integrar, vamos calcular:

\frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} - 9 \cdot \sin (x)

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}}

\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}

\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 9 \cdot \sin (x)

2) Vamos integrar:

\int (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 9 \cdot \sin (x)) d x

Para a expressão matemática

- 9 \cdot \sin (x)

, sabendo que (cos(a))' = -a'*sin(a), tentamos derivar

\cos (x)

3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\cos (x))

ⓘ A derivada de

\cos (x)

- \sin (x)

\frac{d}{d x} (\cos (x))

- \sin (x)

- \sin (x)

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⅰ

\int (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 9 \cdot \sin (x)) d x

9 \cdot \cos (x) + \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x

9 \cdot \cos (x) + \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x

Para

\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}

, utilizamos a fórmula de integração:

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x

\frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}

9 \cdot \cos (x) + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}

ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}

\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot \frac{5}{2}}

9 \cdot \cos (x) + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot \frac{5}{2}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

3 \cdot \frac{5}{2}

\frac{3 \cdot 5}{2}

\frac{15}{2}

9 \cdot \cos (x) + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{\frac{15}{2}}

ⓘ Dividir equivale a multiplicar pelo inverso:

\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{\frac{15}{2}}

2 x^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{2}{15}

9 \cdot \cos (x) + 2 x^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{2}{15}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

2 \cdot \frac{2}{15}

\frac{4}{15}

9 \cdot \cos (x) + \frac{4}{15} \cdot x^{\frac{5}{2}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{4}{15} \cdot x^{\frac{5}{2}}

\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15}

9 \cdot \cos (x) + \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{15} + 9 \cdot \cos (x) + C