integral de 2cos^2(x) — solução passo a passo

1) Vamos calcular a integral:

\int 2 \cdot {\cos (x)}^{2} d x

Reduzimos o quadrado com a identidade

{\cos (x)}^{2} = \frac{1 + \cos (2 x)}{2}

ⅰ

\int 2 \cdot {\cos (x)}^{2} d x

\int (1 + \cos (2 x)) d x

\int (1 + \cos (2 x)) d x

Para a expressão matemática

\cos (2 x)

, sabendo que (sin(a))' = a'*cos(a), tentamos derivar

\sin (2 x)

2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

com f =

2 x

ⓘ A derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2 \cdot \cos (2 x)

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⅰ

\int (1 + \cos (2 x)) d x

\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x) + \int 1 d x

\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x) + \int 1 d x

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2} \cdot \sin (2 x)

\frac{1 \cdot \sin (2 x)}{2}

\frac{\sin (2 x)}{2}

■A derivada de

x

1

, pelo que

x

é uma primitiva de

1

\int 1 d x

x

\frac{\sin (2 x)}{2} + x

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

x + \frac{\sin (2 x)}{2} + C