integral de 2x^2-3x+1 entre 2 e 4 — solução passo a passo

1) Vamos integrar:

\int_{2}^{4} (2 x^{2} - 3 x + 1) d x

ⅰ

\int (2 x^{2} - 3 x + 1) d x

\int 2 x^{2} d x - \int 3 x d x + \int 1 d x

\int 2 x^{2} d x - \int 3 x d x + \int 1 d x

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int 2 x^{2} d x

2 \cdot \frac{x^{3}}{3}

- \int 3 x d x

- 3 \cdot \frac{x^{2}}{2}

■A derivada de

x

1

, pelo que

x

é uma primitiva de

1

\int 1 d x

x

2 \cdot \frac{x^{3}}{3} - 3 \cdot \frac{x^{2}}{2} + x

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

2 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{2 x^{3}}{3}

3 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{3 x^{2}}{2}

▷

\frac{2 x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + x

2) Vamos avaliar no intervalo

[2; 4]

(\frac{2 \cdot 4^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 4^{2}}{2} + 4) - (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 2^{2}}{2} + 2)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

4^{3}

4 \cdot 4 \cdot 4

64

4^{2}

4 \cdot 4

16

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 2^{2}}{2} + 2)

- \frac{2 \cdot 2^{3}}{3} + \frac{3 \cdot 2^{2}}{2} - 2

\frac{2 \cdot 64}{3}

- \frac{3 \cdot 16}{2}

+ 4

- \frac{2 \cdot 2^{3}}{3}

+ \frac{3 \cdot 2^{2}}{2}

- 2

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Partimos de

4

e recuamos

2

na reta numérica:

4 - 2

2

ⅰ

2 \cdot 64

2 \cdot (60 + 4)

2 \cdot 60 + 2 \cdot 4

120 + 8

128

■

3 \cdot 16

3 \cdot (10 + 6)

3 \cdot 10 + 3 \cdot 6

30 + 18

48

\frac{128}{3}

- \frac{48}{2}

+ 2

- \frac{2 \cdot 8}{3}

+ \frac{3 \cdot 4}{2}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores. Escolhemos

6

, o mínimo múltiplo comum de

3

2

. Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número não altera a fração:

\frac{128}{3} - \frac{48}{2}

\frac{128 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{-48 \cdot 3}{2 \cdot 3}

\frac{128 \cdot 2 - 48 \cdot 3}{3 \cdot 2}

ⅰ

2 \cdot 8

16

■

3 \cdot 4

12

\frac{128 \cdot 2 - 48 \cdot 3}{3 \cdot 2}

+ 2

- \frac{16}{3}

+ \frac{12}{2}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

128 \cdot 2

(100 + 20 + 8) \cdot 2

100 \cdot 2 + 20 \cdot 2 + 8 \cdot 2

200 + 40 + 16

256

48 \cdot 3

(40 + 8) \cdot 3

40 \cdot 3 + 8 \cdot 3

120 + 24

144

■Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

2 - \frac{16}{3}

\frac{3 \cdot 2 - 16}{3}

■Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{12}{2}

6

ⅰ

3 \cdot 2

6

\frac{256 - 144}{6} + \frac{3 \cdot 2 - 16}{3} + 6

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

256 - 144

112

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 2

6

\frac{112}{6} + \frac{6 - 16}{3} + 6

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

2

, o seu máximo divisor comum:

\frac{112}{6}

\frac{56 \cdot 2}{3 \cdot 2}

\frac{56}{3}

■O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

6 - 16

-10

\frac{56}{3} - \frac{10}{3} + 6

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{56}{3} - \frac{10}{3}

\frac{56 - 10}{3}

\frac{56 - 10}{3} + 6

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

56 - 10

46

\frac{46}{3} + 6

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{46}{3} + 6

\frac{46 + 6 \cdot 3}{3}

\frac{46 + 6 \cdot 3}{3}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

6 \cdot 3

18

\frac{46 + 18}{3}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

46 + 18

64

▶Integral:

\frac{64}{3}

3) O valor numérico de:

\frac{64}{3}

é:

▷

\approx 21,3333