integral de 2xsqrt(2x-1) — solução passo a passo

⚠ 2xsqrt(2x-1) é interpretado como 2x*sqrt(2x-1): utilize * para uma multiplicação, utilize ^ para uma potência

Vamos calcular a integral:

\int 2 x \cdot \sqrt{2 x - 1} d x

Façamos

u = 2 x - 1

x = \frac{u + 1}{2}

dx = \frac{du}{2}

\int 2 x \cdot \sqrt{2 x - 1} d x

\int (\frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{u}}{2}) d u

Uma primitiva de

u^{n}

\frac{u^{n + 1}}{n + 1}

, para

n \neq -1

\frac{u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}

\frac{u^{\frac{3}{2}} \cdot (3 u + 5)}{15}

Vamos substituir

u = 2 x - 1

ⅰ

\int 2 x \cdot \sqrt{2 x - 1} d x

\frac{2 \cdot (3 x + 1) \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{15}

\frac{2 \cdot (3 x + 1) \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{15}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{2 \cdot (3 x + 1) \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{15} + C