integral de 5e^x-cos(x)+3x^2-1/x

1) Vamos calcular a integral:

\int (5 e^{x} - \cos (x) + 3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x

Para a expressão matemática

- \cos (x)

, sabendo que (sin(a))' = a'*cos(a), tentamos derivar

\sin (x)

2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\sin (x))

ⓘ A derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (x))

\cos (x)

\cos (x)

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⅰ

\int (5 e^{x} - \cos (x) + 3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x

- \sin (x) + \int (5 e^{x} + 3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x

- \sin (x) + \int (5 e^{x} + 3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x

Para a expressão matemática

5 e^{x}

, sabendo que (exp(a))' = a'*exp(a), tentamos derivar

\exp (x)

3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\exp (x))

ⓘ A derivada de

\exp (x)

\exp (x)

\frac{d}{d x} (\exp (x))

\exp (x)

\exp (x)

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⅰ

\int (5 e^{x} + 3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x

5 e^{x} + \int (3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x

- \sin (x) + (5 e^{x} + \int (3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x)

ⅰ

\int (3 x^{2} - \frac{1}{x}) d x

\int 3 x^{2} d x - \int \frac{1}{x} d x

- \sin (x) + 5 e^{x} + (\int 3 x^{2} d x - \int \frac{1}{x} d x)

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int 3 x^{2} d x

3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

■A derivada de

- \ln | x |

- \frac{1}{x}

, pelo que

- \ln | x |

é uma primitiva de

- \frac{1}{x}

- \int \frac{1}{x} d x

- \ln | x |

- \sin (x)

+ 5 e^{x}

+ 3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

- \ln | x |

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{3 x^{3}}{3}

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{3 x^{3}}{3}

x^{3}

- \sin (x)

+ 5 e^{x}

+ x^{3}

- \ln | x |

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

5 e^{x}

+ x^{3}

- \ln | x |

- \sin (x)

+ C