integral de 7arccos(x) — solução passo a passo

1) Vamos calcular a integral:

\int 7 \cdot \arccos (x) d x

⇥Retiramos o fator constante

7

da integral. Para

7 \cdot \arccos (x)

, utilizamos a integração por partes:

\int 7 \cdot u1 \cdot v2' d x = 7 \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x)

com u1 =

\arccos (x)

e v2' =

1

⇥1.1) Vamos derivar u1:

\frac{d}{d x} (\arccos (x))

⇥ⓘ A derivada de

\arccos (x)

- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

\frac{d}{d x} (\arccos (x))

- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

⇥

- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

⇥1.2) Vamos integrar v2':

\int 1 d x

⇥ⓘ A derivada de

x

1

, pelo que

x

é uma primitiva de

1

\int 1 d x

x

⇥

x

⇥1.3) Vamos avaliar

u1' \cdot v2

- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot x

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot x

- \frac{1 \cdot x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

⇥

- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

⇥1.4) Vamos calcular

7 \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x)

7 \cdot (\arccos (x) \cdot x - \int (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x)

⇥Para a expressão matemática

\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

, sabendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), tentamos derivar

{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} + 1}

⇥1.5) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} + 1})

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

- \frac{1}{2} + 1

\frac{- 1 + 2}{2}

⇥

\frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 + 2}{2}})

⇥ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 1 + 2

1

⇥

\frac{d}{d x} (\sqrt{1 - x^{2}})

⇥Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\sqrt{f}) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{f}}

com f =

1 - x^{2}

⇥ⓘ A derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{1 - x^{2}})

\frac{d}{d x} (1 - x^{2}) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

⇥

\frac{d}{d x} (1 - x^{2}) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{d}{d x} (1 - x^{2}) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

\frac{\frac{d}{d x} (1 - x^{2}) \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

\frac{\frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (1 - x^{2})

0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})

⇥

\frac{0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})

\frac{d}{d x} (- x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (- x^{2})

- 2 x

⇥

- \frac{2 x}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

⇥ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

- \frac{2 x}{2 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}}

- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

⇥

- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

⇥A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

⇥ⓘ A derivada de

- \sqrt{1 - x^{2}}

\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

, pelo que

- \sqrt{1 - x^{2}}

é uma primitiva de

\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}

- \int (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x

- \sqrt{1 - x^{2}}

⇥

7 \cdot \arccos (x) \cdot x + 7 \cdot (- \sqrt{1 - x^{2}})

⇥ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

7 \cdot (- \sqrt{1 - x^{2}})

- 7 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}

⇥

7 \cdot \arccos (x) \cdot x - 7 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}

Depois continuamos a integração:

ⅰ

\int 7 \cdot \arccos (x) d x

7 \cdot \arccos (x) \cdot x - 7 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}

7 \cdot \arccos (x) \cdot x - 7 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}

Colocamos em evidência

7

, o máximo divisor comum dos coeficientes:

7 \cdot \arccos (x) \cdot x - 7 \cdot \sqrt{1 - x^{2}}

7 \cdot (\arccos (x) \cdot x - \sqrt{1 - x^{2}})

Fator encontrado:

x \cdot \arccos (x) - \sqrt{1 - x^{2}}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

7 \cdot (x \cdot \arccos (x) - \sqrt{1 - x^{2}}) + C