integral de 7r^2ln(r) entre 1 e 5 — solução passo a passo

1) Vamos integrar:

\int_{1}^{5} 7 r^{2} \cdot \ln (r) d r

⇥Retiramos o fator constante

7

da integral. Para

7 r^{2} \cdot \ln (r)

, utilizamos a integração por partes:

\int 7 \cdot u1 \cdot v2' d r = 7 \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d r)

com u1 =

\ln (r)

e v2' =

r^{2}

⇥1.1) Vamos derivar u1:

\frac{d}{d r} (\ln (r))

⇥ⓘ A derivada de

\ln (r)

\frac{1}{r}

\frac{d}{d r} (\ln (r))

\frac{1}{r}

⇥

\frac{1}{r}

⇥1.2) Vamos calcular a integral v2':

\int r^{2} d r

⇥ⓘ Uma primitiva de

r^{n}

\frac{r^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int r^{2} d r

\frac{r^{3}}{3}

⇥

\frac{r^{3}}{3}

⇥1.3) Vamos calcular

u1' \cdot v2

\frac{1}{r} \cdot \frac{r^{3}}{3}

⇥ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{1}{r} \cdot \frac{r^{3}}{3}

\frac{1 \cdot r^{3}}{r \cdot 3}

\frac{r^{3}}{r \cdot 3}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

\frac{r^{3}}{r \cdot 3}

\frac{r^{2}}{3}

⇥

\frac{r^{2}}{3}

⇥1.4) Vamos calcular

7 \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d r)

7 \cdot (\ln (r) \cdot \frac{r^{3}}{3} - \int \frac{r^{2}}{3} d r)

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\ln (r) \cdot \frac{r^{3}}{3}

\frac{\ln (r) \cdot r^{3}}{3}

■Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

r^{n}

\frac{r^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int \frac{r^{2}}{3} d r

- \frac{1}{3} \cdot \frac{r^{3}}{3}

⇥

7 \cdot (\frac{\ln (r) \cdot r^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{r^{3}}{3})

⇥ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{1}{3} \cdot \frac{r^{3}}{3}

\frac{1 \cdot r^{3}}{3 \cdot 3}

\frac{r^{3}}{9}

⇥

7 \cdot (\frac{\ln (r) \cdot r^{3}}{3} - \frac{r^{3}}{9})

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{\ln (r) \cdot r^{3}}{3} - \frac{r^{3}}{9}

\frac{3 \cdot \ln (r) \cdot r^{3} - r^{3}}{9}

⇥

7 \cdot (\frac{3 \cdot \ln (r) \cdot r^{3} - r^{3}}{9})

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

7 \cdot \frac{3 \cdot \ln (r) \cdot r^{3} - r^{3}}{9}

\frac{7 \cdot (3 \cdot \ln (r) \cdot r^{3} - r^{3})}{9}

■Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{7 \cdot (3 \cdot \ln (r) \cdot r^{3} - r^{3})}{9}

\frac{7 r^{3} \cdot (3 \cdot \ln (r) - 1)}{9}

⇥

\frac{7 r^{3} \cdot (3 \cdot \ln (r) - 1)}{9}

Finalmente terminamos a integração:

ⅰ

\int 7 r^{2} \cdot \ln (r) d r

\frac{7 r^{3} \cdot (3 \cdot \ln (r) - 1)}{9}

▷

\frac{7 r^{3} \cdot (3 \cdot \ln (r) - 1)}{9}

2) Vamos avaliar no intervalo

[1; 5]

\frac{7 \cdot 5^{3} \cdot (3 \cdot \ln (5) - 1)}{9} - \frac{7 \cdot 1^{3} \cdot (3 \cdot \ln (1) - 1)}{9}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

5^{3}

5 \cdot 5 \cdot 5

125

\frac{7 \cdot 125 \cdot (3 \cdot \ln (5) - 1)}{9} - \frac{7 \cdot (3 \cdot \ln (1) - 1)}{9}

ⓘ

\ln (1) = 0

, pois

\exp (0) = 1

\ln (1)

0

ⅰ

7 \cdot 125

7 \cdot (100 + 20 + 5)

7 \cdot 100 + 7 \cdot 20 + 7 \cdot 5

700 + 140 + 35

875

\frac{875 \cdot (3 \cdot \ln (5) - 1)}{9} - \frac{7 \cdot (3 \cdot 0 - 1)}{9}

ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

3 \cdot 0

0

\frac{875 \cdot (3 \cdot \ln (5) - 1)}{9} - \frac{7 \cdot (0 - 1)}{9}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 1

-1

■Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

7 \cdot (-1)

-7

\frac{875 \cdot (3 \cdot \ln (5) - 1)}{9} - (\frac{-7}{9})

ⓘ Dois sinais de menos anulam-se:

- (\frac{-7}{9})

\frac{7}{9}

\frac{875 \cdot (3 \cdot \ln (5) - 1)}{9} + \frac{7}{9}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{875 \cdot (3 \cdot \ln (5) - 1)}{9} + \frac{7}{9}

\frac{875 \cdot (3 \cdot \ln (5) - 1) + 7}{9}

\frac{875 \cdot (3 \cdot \ln (5) - 1) + 7}{9}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

875 \cdot (3 \cdot \ln (5) - 1)

2625 \cdot \ln (5) - 875

\frac{2625 \cdot \ln (5) - 875 + 7}{9}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 875 + 7

-868

▶Integral:

\frac{2625 \cdot \ln (5) - 868}{9}

3) O valor numérico de:

\frac{2625 \cdot \ln (5) - 868}{9}

vale:

\frac{2625 \cdot \approx 1,6094 - 868}{9}

\frac{\approx 4224,7745 - 868}{9}

\frac{\approx 3356,7745}{9}

▷

\approx 372,9749