integral de 8/(4*t^2+1)^2 — solução passo a passo

Vamos integrar:

\int \frac{8}{{(4 t^{2} + 1)}^{2}} d t

O denominador

4 t^{2} + 1

é estritamente positivo em ℝ. Fazemos

u = 2 t

, pelo que

du = 2 dt

A integral passa a ser

4

vezes

\int \frac{1}{{(1 + u^{2})}^{2}} d u

A regra do quociente e a derivada de atan dão

{(\frac{u}{1 + u^{2}} + \arctan (u))}^{'}

2 \cdot \frac{1}{{(1 + u^{2})}^{2}}

: uma primitiva de

\frac{1}{{(1 + u^{2})}^{2}}

\frac{\frac{u}{1 + u^{2}} + \arctan (u)}{2}

Multiplicamos esta primitiva por

4

e depois substituímos

u

2 \cdot (\frac{2 t}{1 + {(2 t)}^{2}} + \arctan (2 t))

ⓘ A potência de um produto é o produto das potências:

{(2 t)}^{2}

2^{2} \cdot t^{2}

■Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

2 \cdot (\frac{2 t}{1 + 2^{2} \cdot t^{2}} + \arctan (2 t))

2 \cdot \frac{2 t}{1 + 2^{2} \cdot t^{2}} + 2 \cdot \arctan (2 t)

2 \cdot \frac{2 t}{1 + 2^{2} \cdot t^{2}} + 2 \cdot \arctan (2 t)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

2 \cdot \frac{2 t}{1 + 4 t^{2}} + 2 \cdot \arctan (2 t)

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

2 \cdot \frac{2 t}{1 + 4 t^{2}}

\frac{2 \cdot 2 \cdot t}{1 + 4 t^{2}}

\frac{4 t}{1 + 4 t^{2}}

\frac{4 t}{1 + 4 t^{2}} + 2 \cdot \arctan (2 t)

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{4 t}{4 t^{2} + 1} + 2 \cdot \arctan (2 t) + C