integral de (10)/((25x^2+1)^2) — solução passo a passo

Vamos integrar:

\int \frac{10}{{(25 x^{2} + 1)}^{2}} d x

O denominador

25 x^{2} + 1

é estritamente positivo em ℝ. Fazemos

u = 5 x

, pelo que

du = 5 dx

A integral passa a ser

2

vezes

\int \frac{1}{{(1 + u^{2})}^{2}} d u

A regra do quociente e a derivada de atan dão

{(\frac{u}{1 + u^{2}} + \arctan (u))}^{'}

2 \cdot \frac{1}{{(1 + u^{2})}^{2}}

: uma primitiva de

\frac{1}{{(1 + u^{2})}^{2}}

\frac{\frac{u}{1 + u^{2}} + \arctan (u)}{2}

Multiplicamos esta primitiva por

2

e depois substituímos

u

\frac{5 x}{1 + {(5 x)}^{2}} + \arctan (5 x)

ⓘ A potência de um produto é o produto das potências:

{(5 x)}^{2}

5^{2} \cdot x^{2}

\frac{5 x}{1 + 5^{2} \cdot x^{2}} + \arctan (5 x)

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

5^{2}

5 \cdot 5

25

\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x)

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{5 x}{25 x^{2} + 1} + \arctan (5 x) + C