integral de (2x-4)/((x^2-4x+20)^2)

1) Vamos integrar:

\int \frac{2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}} d x

Para a expressão matemática

\frac{2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}

, sabendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), tentamos derivar

{(x^{2} - 4 x + 20)}^{- 2 + 1}

2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{- 2 + 1})

ⓘ O expoente calcula-se antes da potência:

- 2 + 1

-1

\frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{-1})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

x^{2} - 4 x + 20

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4 x + 20)}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20) \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{-2}

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20) \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{-2}

ⓘ Multiplicar por -1 dá o oposto:

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20) \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{-2}

- \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20) \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{-2}

- \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20) \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{-2}

ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

- \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20) \cdot {(x^{2} - 4 x + 20)}^{-2}

- \frac{\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}

- \frac{\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 20)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

- \frac{\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + 0}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 4 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 4 x)

-4

- \frac{2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}

ⓘ O sinal de menos da fração passa para o numerador ou para o denominador e muda o sinal de cada um dos seus termos:

- \frac{2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}

\frac{- 2 x + 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}

\frac{- 2 x + 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⓘ A derivada de

- \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}

\frac{2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}

, pelo que

- \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}

é uma primitiva de

\frac{2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}}

\int \frac{2 x - 4}{{(x^{2} - 4 x + 20)}^{2}} d x

- \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}

- \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

- \frac{1}{x^{2} - 4 x + 20} + C