integral de (2x^2+3)/x^3 — solução passo a passo

Vamos calcular a integral:

\int \frac{2 x^{2} + 3}{x^{3}} d x

Para

x \neq 0

, dividimos cada termo do numerador pela potência do denominador:

\frac{2 x^{2} + 3}{x^{3}} = \frac{2}{x} + \frac{3}{x^{3}}

ⅰ

\int \frac{2 x^{2} + 3}{x^{3}} d x

\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x

\int \frac{2}{x} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x

\int \frac{2}{x} d x = 2 \cdot \int \frac{1}{x} d x

Utilizamos

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |

. O valor absoluto permite tratar ambos os sinais do denominador, em qualquer intervalo onde

x \neq 0

ⓘ A derivada de

2 \cdot \ln | x |

\frac{2}{x}

, pelo que

2 \cdot \ln | x |

é uma primitiva de

\frac{2}{x}

\int \frac{2}{x} d x

2 \cdot \ln | x |

■Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int \frac{3}{x^{3}} d x

\int 3 x^{-3} d x

- \frac{3 x^{-2}}{2}

- \frac{3}{2 x^{2}}

2 \cdot \ln | x | - \frac{3}{2 x^{2}}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

- \frac{3}{2 x^{2}} + 2 \cdot \ln | x | + C