integral de (3-2x)^3 — solução passo a passo

1) Vamos integrar:

\int {(3 - 2 x)}^{3} d x

Para a expressão matemática

{(3 - 2 x)}^{3}

, sabendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), tentamos derivar

{(3 - 2 x)}^{3 + 1}

2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({(3 - 2 x)}^{3 + 1})

ⓘ O expoente calcula-se antes da potência:

3 + 1

4

\frac{d}{d x} ({(3 - 2 x)}^{4})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

3 - 2 x

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(3 - 2 x)}^{4})

4 \cdot \frac{d}{d x} (3 - 2 x) \cdot {(3 - 2 x)}^{3}

4 \cdot \frac{d}{d x} (3 - 2 x) \cdot {(3 - 2 x)}^{3}

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (3 - 2 x)

0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)

4 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)) \cdot {(3 - 2 x)}^{3}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)

\frac{d}{d x} (- 2 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 2 x)

-2

4 \cdot (-2) \cdot {(3 - 2 x)}^{3}

ⓘ Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

4 \cdot (-2)

-8

-8 \cdot {(3 - 2 x)}^{3}

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⓘ A derivada de

- \frac{1}{8} \cdot {(3 - 2 x)}^{4}

{(3 - 2 x)}^{3}

, pelo que

- \frac{1}{8} \cdot {(3 - 2 x)}^{4}

é uma primitiva de

{(3 - 2 x)}^{3}

\int {(3 - 2 x)}^{3} d x

- \frac{1}{8} \cdot {(3 - 2 x)}^{4}

- \frac{1}{8} \cdot {(3 - 2 x)}^{4}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

- \frac{1}{8} \cdot {(3 - 2 x)}^{4}

- \frac{1 \cdot {(3 - 2 x)}^{4}}{8}

- \frac{{(3 - 2 x)}^{4}}{8}

- \frac{{(3 - 2 x)}^{4}}{8}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

- \frac{{(3 - 2 x)}^{4}}{8} + C