integral de (3p^2-2)^2e^{-4p} — solução passo a passo | Explain MAths

integral de (3p^2-2)^2e^{-4p}

⚠ (3p^2-2)^2e^{-4p} é interpretado como (3p^2-2)^2e^(-4p): utilize ^(...) para agrupar um expoente, utilize * para multiplicar

1) Antes de integrar, vamos calcular:

{(3 p^{2} - 2)}^{2} \cdot e^{-4 p}

ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

{(3 p^{2} - 2)}^{2} \cdot e^{- 4 p}

=

\frac{{(3 p^{2} - 2)}^{2}}{e^{4 p}}

\frac{{(3 p^{2} - 2)}^{2}}{e^{4 p}}

2) Vamos integrar:

\int \frac{{(3 p^{2} - 2)}^{2}}{e^{4 p}} d p

3) Vamos escrever na forma desenvolvida:

{(3 p^{2} - 2)}^{2}

ⓘ Elevar uma soma a uma potência inteira estritamente positiva consiste em multiplicá-la por si mesma tantas vezes quantas indica o expoente:

{(3 p^{2} - 2)}^{2}

=

(3 p^{2} - 2) \cdot (3 p^{2} - 2)

(3 p^{2} - 2) \cdot (3 p^{2} - 2)

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(3 p^{2} - 2) \cdot (3 p^{2} - 2)

=

3 \cdot p^{2} \cdot 3 \cdot p^{2}

+ 3 p^{2} \cdot (-2)

- 2 \cdot 3 p^{2}

- 2 \cdot (-2)

3 \cdot p^{2} \cdot 3 \cdot p^{2}

+ 3 p^{2} \cdot (-2)

- 2 \cdot 3 p^{2}

- 2 \cdot (-2)

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

3 \cdot 3

=

9

,

2 \cdot 3

=

6

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

p^{2} \cdot p^{2}

=

p^{4}

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

3 \cdot (-2)

=

-6

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-2 \cdot (-2)

=

4

9 p^{4}

- 6 p^{2}

- 6 p^{2}

+ 4

ⓘ Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 6 p^{2} - 6 p^{2}

=

-12 p^{2}

9 p^{4} - 12 p^{2} + 4

Uma primitiva de

e^{- 4 p}

é

- \frac{1}{4 e^{4 p}}

. Repetimos a fórmula

\int (9 p^{4} - 12 p^{2} + 4) \cdot e^{- 4 p} d p = (9 p^{4} - 12 p^{2} + 4) \cdot (- \frac{1}{4 e^{4 p}}) - \int (36 p^{3} - 24 p) \cdot (- \frac{1}{4 e^{4 p}}) d p

4) Integramos por partes, derivando o polinómio e integrando a exponencial. Cada derivação reduz o grau do polinómio até obter uma constante

Após derivar 0 vezes, o polinómio é

9 p^{4} - 12 p^{2} + 4

, pelo que a sua contribuição para a primitiva é

e^{- 4 p} \cdot (- \frac{9 p^{4} - 12 p^{2} + 4}{4})

Após derivar 1 vez, o polinómio é

36 p^{3} - 24 p

, pelo que a sua contribuição para a primitiva é

e^{- 4 p} \cdot (- \frac{36 p^{3} - 24 p}{16})

Após derivar 2 vezes, o polinómio é

108 p^{2} - 24

, pelo que a sua contribuição para a primitiva é

e^{- 4 p} \cdot (- \frac{108 p^{2} - 24}{64})

Após derivar 3 vezes, o polinómio é

216 p

, pelo que a sua contribuição para a primitiva é

e^{- 4 p} \cdot (- \frac{216 p}{256})

Após derivar 4 vezes, o polinómio é

216

, pelo que a sua contribuição para a primitiva é

e^{- 4 p} \cdot (- \frac{216}{1024})

5) A derivada seguinte é nula: somamos as contribuições com o mesmo denominador, deixando a exponencial à parte:

- \frac{9 p^{4} - 12 p^{2} + 4}{4}

- \frac{36 p^{3} - 24 p}{16}

- \frac{108 p^{2} - 24}{64}

- \frac{216 p}{256}

- \frac{216}{1024}

=

\frac{- 256 \cdot (9 p^{4} - 12 p^{2} + 4) - 64 \cdot (36 p^{3} - 24 p) - 16 \cdot (108 p^{2} - 24) - 4 \cdot 216 p - 216}{1024}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 216

=

4 \cdot (200 + 10 + 6)

=

4 \cdot 200 + 4 \cdot 10 + 4 \cdot 6

=

800 + 40 + 24

=

864

■Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 256 \cdot (9 p^{4} - 12 p^{2} + 4)

- 64 \cdot (36 p^{3} - 24 p)

- 16 \cdot (108 p^{2} - 24)

- 864 p

- 216

=

- (256 \cdot (9 p^{4} - 12 p^{2} + 4)

+ 64 \cdot (36 p^{3} - 24 p)

+ 16 \cdot (108 p^{2} - 24)

+ 864 p

+ 216)

- 256 \cdot (9 p^{4} - 12 p^{2} + 4)

+ 64 \cdot (36 p^{3} - 24 p)

+ 16 \cdot (108 p^{2} - 24)

+ 864 p

+ 2161024

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

- \frac{256 \cdot (9 p^{4} - 12 p^{2} + 4) + 64 \cdot (36 p^{3} - 24 p) + 16 \cdot (108 p^{2} - 24) + 864 p + 216}{1024}

=

- \frac{32 \cdot (9 p^{4} - 12 p^{2} + 4) + 8 \cdot (36 p^{3} - 24 p) + 2 \cdot (108 p^{2} - 24) + 108 p + 27}{128}

- \frac{32 \cdot (9 p^{4} - 12 p^{2} + 4) + 8 \cdot (36 p^{3} - 24 p) + 2 \cdot (108 p^{2} - 24) + 108 p + 27}{128}

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

32 \cdot (9 p^{4} - 12 p^{2} + 4)

=

288 p^{4} - 384 p^{2} + 128

,

8 \cdot (36 p^{3} - 24 p)

=

288 p^{3} - 192 p

,

2 \cdot (108 p^{2} - 24)

=

216 p^{2} - 48

- \frac{288 p^{4} - 384 p^{2} + 128 + 288 p^{3} - 192 p + 216 p^{2} - 48 + 108 p + 27}{128}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

128 - 48

=

80

■Agrupamos os termos semelhantes somando os seus coeficientes:

- 384 p^{2} + 216 p^{2}

=

-168 p^{2}

,

- 192 p + 108 p

=

-84 p

- \frac{288 p^{4} - 168 p^{2} + 80 + 288 p^{3} - 84 p + 27}{128}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

80 + 27

=

107

- \frac{288 p^{4} - 168 p^{2} + 107 + 288 p^{3} - 84 p}{128}

6) Reintroduzimos o fator exponencial:

e^{- 4 p} \cdot \frac{- 288 p^{4} + 168 p^{2} - 107 - 288 p^{3} + 84 p}{128}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

e^{- 4 p} \cdot \frac{- 288 p^{4} + 168 p^{2} - 107 - 288 p^{3} + 84 p}{128}

=

\frac{e^{- 4 p} \cdot (- 288 p^{4} + 168 p^{2} - 107 - 288 p^{3} + 84 p)}{128}

■Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

\frac{e^{- 4 p} \cdot (- 288 p^{4} + 168 p^{2} - 107 - 288 p^{3} + 84 p)}{128}

=

\frac{- 288 p^{4} + 168 p^{2} - 107 - 288 p^{3} + 84 p}{128 e^{4 p}}

ⅰ

\int \frac{{(3 p^{2} - 2)}^{2}}{e^{4 p}} d p

=

\frac{- 288 p^{4} + 168 p^{2} - 107 - 288 p^{3} + 84 p}{128 e^{4 p}}

\frac{- 288 p^{4} + 168 p^{2} - 107 - 288 p^{3} + 84 p}{128 e^{4 p}}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{- 288 p^{4} - 288 p^{3} + 168 p^{2} + 84 p - 107}{128 e^{4 p}} + C