integral de (3x)/(1+x^2) — solução passo a passo

Vamos integrar:

\int \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x

Para a expressão matemática

\frac{3 x}{1 + x^{2}}

, sabendo que (ln(a))' = a'/a, tentamos derivar

\ln (1 + x^{2})

Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\ln (1 + x^{2}))

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

com f =

1 + x^{2}

ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (1 + x^{2}))

\frac{d}{d x} (1 + x^{2}) \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}

\frac{d}{d x} (1 + x^{2}) \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{d}{d x} (1 + x^{2}) \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}

\frac{\frac{d}{d x} (1 + x^{2}) \cdot 1}{1 + x^{2}}

\frac{\frac{d}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (1 + x^{2})

0 + \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{0 + \frac{d}{d x} (x^{2})}{1 + x^{2}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

\frac{2 x}{1 + x^{2}}

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⓘ A derivada de

\frac{3}{2} \cdot \ln (1 + x^{2})

\frac{3 x}{1 + x^{2}}

, pelo que

\frac{3}{2} \cdot \ln (1 + x^{2})

é uma primitiva de

\frac{3 x}{1 + x^{2}}

\int \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x

\frac{3}{2} \cdot \ln (1 + x^{2})

\frac{3}{2} \cdot \ln (1 + x^{2})

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{3}{2} \cdot \ln (1 + x^{2})

\frac{3 \cdot \ln (1 + x^{2})}{2}

\frac{3 \cdot \ln (1 + x^{2})}{2}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{3 \cdot \ln (x^{2} + 1)}{2} + C