integral de (3x^2+1)/(2x) — solução passo a passo

Vamos integrar:

\int \frac{3 x^{2} + 1}{2 x} d x

Para

x \neq 0

, dividimos cada termo do numerador pela potência do denominador:

\frac{3 x^{2} + 1}{2 x} = \frac{3 x}{2} + \frac{1}{2 x}

ⅰ

\int \frac{3 x^{2} + 1}{2 x} d x

\int \frac{3 x}{2} d x + \int \frac{1}{2 x} d x

\int \frac{3 x}{2} d x + \int \frac{1}{2 x} d x

\int \frac{1}{2 x} d x = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{x} d x

Utilizamos

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |

. O valor absoluto permite tratar ambos os sinais do denominador, em qualquer intervalo onde

x \neq 0

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int \frac{3 x}{2} d x

\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

■A derivada de

\frac{1}{2} \cdot \ln | x |

\frac{1}{2 x}

, pelo que

\frac{1}{2} \cdot \ln | x |

é uma primitiva de

\frac{1}{2 x}

\int \frac{1}{2 x} d x

\frac{1}{2} \cdot \ln | x |

\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \ln | x |

ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{3 x^{2}}{2 \cdot 2}

\frac{3 x^{2}}{4}

■Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2} \cdot \ln | x |

\frac{1 \cdot \ln | x |}{2}

\frac{\ln | x |}{2}

\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{\ln | x |}{2}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{\ln | x |}{2} + C