integral de (3x^4-x^3+6x^2)/(x^4)

Antes de integrar, vamos calcular:

\frac{3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}}{x^{4}}

Vamos fatorizar em

ℝ

3 x^{4} - x^{3} + 6 x^{2}

Podemos fatorizar a expressão como:

x^{2} \cdot (3 x^{2} - x + 6)

Simplificamos a fração

\frac{x^{2}}{x^{4}}

pelo fator comum

x^{2}

para obter a nova fração:

\frac{1}{x^{2}}

\frac{3 x^{2} - x + 6}{x^{2}}

Vamos integrar:

\int \frac{3 x^{2} - x + 6}{x^{2}} d x

Para

x \neq 0

, dividimos cada termo do numerador pela potência do denominador:

\frac{3 x^{2} - x + 6}{x^{2}} = 3 - \frac{1}{x} + \frac{6}{x^{2}}

ⅰ

\int \frac{3 x^{2} - x + 6}{x^{2}} d x

\int 3 d x - \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{6}{x^{2}} d x

\int 3 d x - \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{6}{x^{2}} d x

ⓘ A derivada de

3 x

3

, pelo que

3 x

é uma primitiva de

3

\int 3 d x

3 x

■A derivada de

- \ln | x |

- \frac{1}{x}

, pelo que

- \ln | x |

é uma primitiva de

- \frac{1}{x}

- \int \frac{1}{x} d x

- \ln | x |

■Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int \frac{6}{x^{2}} d x

\int 6 x^{-2} d x

- 6 x^{-1}

- \frac{6}{x}

3 x - \ln | x | - \frac{6}{x}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

3 x

- \frac{6}{x}

- \ln | x |

+ C