integral de (6ln(4x))/5 — solução passo a passo

1) Vamos integrar:

\int \frac{6 \cdot \ln (4 x)}{5} d x

⇥Retiramos o fator constante

\frac{6}{5}

da integral. Para

\frac{6 \cdot \ln (4 x)}{5}

, utilizamos a integração por partes:

\int \frac{6}{5} \cdot u1 \cdot v2' d x = \frac{6}{5} \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x)

com u1 =

\ln (4 x)

e v2' =

1

⇥1.1) Vamos derivar u1:

\frac{d}{d x} (\ln (4 x))

⇥Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

com f =

4 x

⇥ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (4 x))

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

⇥

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

\frac{\frac{d}{d x} (4 x) \cdot 1}{4 x}

\frac{\frac{d}{d x} (4 x)}{4 x}

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 x)

4

⇥

\frac{4}{4 x}

⇥ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{4}{4 x}

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥Portanto,

u1'

vale

\frac{1}{x}

⇥1.2) Vamos integrar v2':

\int 1 d x

⇥ⓘ A derivada de

x

1

, pelo que

x

é uma primitiva de

1

\int 1 d x

x

⇥

x

⇥1.3) Vamos avaliar

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot x

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{x} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{x}

\frac{x}{x}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum

x

\frac{x}{x}

1

⇥

1

⇥1.4) Vamos calcular

\frac{6}{5} \cdot (u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x)

\frac{6}{5} \cdot (\ln (4 x) \cdot x - \int 1 d x)

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{6}{5} \cdot (\ln (4 x) \cdot x - \int 1 d x)

\frac{6 \cdot (\ln (4 x) \cdot x - \int 1 d x)}{5}

■A derivada de

- x

-1

, pelo que

- x

é uma primitiva de

-1

- \int 1 d x

- x

⇥

\frac{6 \cdot (\ln (4 x) \cdot x - x)}{5}

⇥ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{6 \cdot (\ln (4 x) \cdot x - x)}{5}

\frac{6 x \cdot (\ln (4 x) - 1)}{5}

⇥

\frac{6 x \cdot (\ln (4 x) - 1)}{5}

Depois continuamos a integração:

ⅰ

\int \frac{6 \cdot \ln (4 x)}{5} d x

\frac{6 x \cdot (\ln (4 x) - 1)}{5}

\frac{6 x \cdot (\ln (4 x) - 1)}{5}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{6 x \cdot (\ln (4 x) - 1)}{5} + C