integral de (7x^2+9x+7)/((x^2+1)^2)

1) Vamos integrar:

\int \frac{7 x^{2} + 9 x + 7}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x

ⓘ Como um quadrado nunca é negativo,

x^{2} + 1

não se anula nem se fatoriza em ℝ

2) Podemos decompor em frações parciais:

\frac{7 x^{2} + 9 x + 7}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A + B x}{x^{2} + 1} + \frac{C + D x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

Para encontrar as incógnitas restantes, multiplicamos ambos os membros pelo denominador

{(x^{2} + 1)}^{2}

, o que dá:

7 x^{2} + 9 x + 7 = (A + B x) \cdot (x^{2} + 1) + (C + D x)

7 x^{2} + 9 x + 7 = (A + B x) \cdot (x^{2} + 1) + C + D x

ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(A + B x) \cdot (x^{2} + 1)

A x^{2}

+ A \cdot 1

+ B x x^{2}

+ B x \cdot 1

7 x^{2} + 9 x + 7 = A x^{2}

+ A \cdot 1

+ B x x^{2}

+ B x \cdot 1

+ C

+ D x

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x x^{2}

x^{3}

7 x^{2} + 9 x + 7 = A x^{2}

+ A

+ B x^{3}

+ B x

+ C

+ D x

3) Identificando os diferentes termos, obtemos o sistema de equações:

[1]:

0 = B

[2]:

7 = A

[3]:

9 = B + D

[4]:

7 = A + C

Solução encontrada [1]:

B = 0

4) Vamos resolver para A:

7 = A

[2]

Solução encontrada [2]:

A = 7

5) Vamos resolver para D:

9 = B + D

[3] utilizando

B = 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + D

D

Solução obtida [3]:

D = 9

6) Vamos resolver para C:

7 = A + C

[4] utilizando

A = 7

7 + C = 7

ⓘ Subtraímos

7

a ambos os membros

C = 7 - 7

ⓘ Partimos de

7

e recuamos

7

na reta numérica, até ao zero:

7 - 7

0

Solução encontrada [4]:

C = 0

7) Finalmente, substituímos os valores das incógnitas na decomposição racional inicial:

\frac{7 x^{2} + 9 x + 7}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{7}{x^{2} + 1} + \frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

8) Vamos calcular a integral:

\int (\frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{7}{x^{2} + 1}) d x

Para a expressão matemática

\frac{7}{x^{2} + 1}

, sabendo que (arctan(a))' = a'/(a^2 + 1), tentamos derivar

\arctan (x)

9) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\arctan (x))

ⓘ A derivada de

\arctan (x)

\frac{1}{1 + x^{2}}

\frac{d}{d x} (\arctan (x))

\frac{1}{x^{2} + 1}

\frac{1}{x^{2} + 1}

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⅰ

\int (\frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{7}{x^{2} + 1}) d x

7 \cdot \arctan (x) + \int \frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x

7 \cdot \arctan (x) + \int \frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x

Para a expressão matemática

\frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

, sabendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), tentamos derivar

{(x^{2} + 1)}^{- 2 + 1}

10) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- 2 + 1})

ⓘ O expoente calcula-se antes da potência:

- 2 + 1

-1

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{-1})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

x^{2} + 1

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot {(x^{2} + 1)}^{-2}

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot {(x^{2} + 1)}^{-2}

ⓘ Multiplicar por -1 dá o oposto:

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot {(x^{2} + 1)}^{-2}

- \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot {(x^{2} + 1)}^{-2}

- \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot {(x^{2} + 1)}^{-2}

ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

- \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \cdot {(x^{2} + 1)}^{-2}

- \frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

- \frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

- \frac{\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⓘ A derivada de

- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

\frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

, pelo que

- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

é uma primitiva de

\frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

\int \frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x

- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

7 \cdot \arctan (x) - \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}

\frac{9 \cdot 1}{2 \cdot (x^{2} + 1)}

\frac{9}{2 \cdot (x^{2} + 1)}

ⅰ

\int \frac{7 x^{2} + 9 x + 7}{{(x^{2} + 1)}^{2}} d x

7 \cdot \arctan (x) - \frac{9}{2 \cdot (x^{2} + 1)}

7 \cdot \arctan (x) - \frac{9}{2 \cdot (x^{2} + 1)}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

7 \cdot \arctan (x) - \frac{9}{2 \cdot (x^{2} + 1)} + C