integral de (ln(y^2))/(3y) — solução passo a passo

1) Vamos calcular a integral:

\int \frac{\ln (y^{2})}{3 y} d y

Para a expressão matemática

\frac{\ln (y^{2})}{3 y}

, sabendo que (a^2)' = 2*a'*a, tentamos derivar

{\ln (y^{2})}^{2}

2) Vamos derivar:

\frac{d}{d y} ({\ln (y^{2})}^{2})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d y} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d y} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

\ln (y^{2})

ⓘ A derivada de

y^{n}

n y^{n - 1}

\frac{d}{d y} ({\ln (y^{2})}^{2})

2 \cdot \frac{d}{d y} (\ln (y^{2})) \cdot \ln (y^{2})

2 \cdot \frac{d}{d y} (\ln (y^{2})) \cdot \ln (y^{2})

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d y} (\ln (f)) = \frac{d}{d y} (f) \cdot \frac{1}{f}

com f =

y^{2}

ⓘ A derivada de

\ln (y)

\frac{1}{y}

\frac{d}{d y} (\ln (y^{2}))

\frac{d}{d y} (y^{2}) \cdot \frac{1}{y^{2}}

2 \cdot \frac{d}{d y} (y^{2}) \cdot \frac{1}{y^{2}} \cdot \ln (y^{2})

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

2 \cdot \frac{d}{d y} (y^{2}) \cdot \frac{1}{y^{2}} \cdot \ln (y^{2})

\frac{2 \cdot \frac{d}{d y} (y^{2}) \cdot 1 \cdot \ln (y^{2})}{y^{2}}

\frac{2 \cdot \frac{d}{d y} (y^{2}) \cdot \ln (y^{2})}{y^{2}}

\frac{2 \cdot \frac{d}{d y} (y^{2}) \cdot \ln (y^{2})}{y^{2}}

ⓘ A derivada de

y^{n}

n y^{n - 1}

\frac{d}{d y} (y^{2})

2 y

\frac{2 \cdot 2 y \cdot \ln (y^{2})}{y^{2}}

ⅰ

2 \cdot 2

4

\frac{4 y \cdot \ln (y^{2})}{y^{2}}

Simplificamos a fração

\frac{y}{y^{2}}

pelo fator comum

y

para obter a nova fração:

\frac{1}{y}

\frac{4 \cdot \ln (y^{2})}{y}

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⓘ A derivada de

\frac{1}{12} \cdot {\ln (y^{2})}^{2}

\frac{\ln (y^{2})}{3 y}

, pelo que

\frac{1}{12} \cdot {\ln (y^{2})}^{2}

é uma primitiva de

\frac{\ln (y^{2})}{3 y}

\int \frac{\ln (y^{2})}{3 y} d y

\frac{1}{12} \cdot {\ln (y^{2})}^{2}

\frac{1}{12} \cdot {\ln (y^{2})}^{2}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{12} \cdot {\ln (y^{2})}^{2}

\frac{1 \cdot {\ln (y^{2})}^{2}}{12}

\frac{{\ln (y^{2})}^{2}}{12}

\frac{{\ln (y^{2})}^{2}}{12}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{{\ln (y^{2})}^{2}}{12} + C