integral de (sin(x))/((cos(x))^3)

1) Antes de integrar, vamos calcular:

\frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{3}}

ⓘ Quando

\cos (x) \neq 0

\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \tan (x)

\frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{3}}

\frac{\tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{\tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

2) Vamos integrar:

\int \frac{\tan (x)}{{\cos (x)}^{2}} d x

Para a expressão matemática

\frac{\tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

, sabendo que (a^2)' = 2*a'*a, tentamos derivar

{\tan (x)}^{2}

3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({\tan (x)}^{2})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

\tan (x)

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({\tan (x)}^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (\tan (x)) \cdot \tan (x)

2 \cdot \frac{d}{d x} (\tan (x)) \cdot \tan (x)

ⓘ A derivada de

\tan (x)

\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{d}{d x} (\tan (x))

\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

2 \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \tan (x)

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

2 \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \tan (x)

\frac{2 \cdot 1 \cdot \tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{2 \cdot \tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{2 \cdot \tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⓘ A derivada de

\frac{1}{2} \cdot {\tan (x)}^{2}

\frac{\tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

, pelo que

\frac{1}{2} \cdot {\tan (x)}^{2}

é uma primitiva de

\frac{\tan (x)}{{\cos (x)}^{2}}

\int \frac{\tan (x)}{{\cos (x)}^{2}} d x

\frac{1}{2} \cdot {\tan (x)}^{2}

\frac{1}{2} \cdot {\tan (x)}^{2}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2} \cdot {\tan (x)}^{2}

\frac{1 \cdot {\tan (x)}^{2}}{2}

\frac{{\tan (x)}^{2}}{2}

\frac{{\tan (x)}^{2}}{2}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{{\tan (x)}^{2}}{2} + C