integral de (x^2-3x+1)/(-2x) — solução passo a passo

Antes de integrar, vamos calcular:

\frac{x^{2} - 3 x + 1}{-2 x}

ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{x^{2} - 3 x + 1}{- 2 x}

- \frac{x^{2} - 3 x + 1}{2 x}

- \frac{x^{2} - 3 x + 1}{2 x}

Vamos integrar:

\int (- \frac{x^{2} - 3 x + 1}{2 x}) d x

Para

x \neq 0

, dividimos cada termo do numerador pela potência do denominador:

- \frac{x^{2} - 3 x + 1}{2 x} = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2 x}

ⅰ

\int (- \frac{x^{2} - 3 x + 1}{2 x}) d x

- \int \frac{x}{2} d x + \int \frac{3}{2} d x - \int \frac{1}{2 x} d x

- \int \frac{x}{2} d x + \int \frac{3}{2} d x - \int \frac{1}{2 x} d x

\int (- \frac{1}{2 x}) d x = - \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{x} d x

Utilizamos

\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |

. O valor absoluto permite tratar ambos os sinais do denominador, em qualquer intervalo onde

x \neq 0

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int \frac{x}{2} d x

- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

■A derivada de

\frac{3}{2} \cdot x

\frac{3}{2}

, pelo que

\frac{3}{2} \cdot x

é uma primitiva de

\frac{3}{2}

\int \frac{3}{2} d x

\frac{3}{2} \cdot x

■A derivada de

- \frac{1}{2} \cdot \ln | x |

- \frac{1}{2 x}

, pelo que

- \frac{1}{2} \cdot \ln | x |

é uma primitiva de

- \frac{1}{2 x}

- \int \frac{1}{2 x} d x

- \frac{1}{2} \cdot \ln | x |

- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{3}{2} \cdot x - \frac{1}{2} \cdot \ln | x |

ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{1 \cdot x^{2}}{2 \cdot 2}

\frac{x^{2}}{4}

■Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{3}{2} \cdot x

\frac{3 x}{2}

\frac{1}{2} \cdot \ln | x |

\frac{1 \cdot \ln | x |}{2}

\frac{\ln | x |}{2}

- \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} - \frac{\ln | x |}{2}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

- \frac{x^{2}}{4}

+ \frac{3 x}{2}

- \frac{\ln | x |}{2}

+ C