integral de (z+3)^4 — solução passo a passo

1) Vamos integrar:

\int {(z + 3)}^{4} d z

Para a expressão matemática

{(z + 3)}^{4}

, sabendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), tentamos derivar

{(z + 3)}^{4 + 1}

2) Vamos derivar:

\frac{d}{d z} ({(z + 3)}^{4 + 1})

ⓘ O expoente calcula-se antes da potência:

4 + 1

5

\frac{d}{d z} ({(z + 3)}^{5})

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d z} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d z} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

z + 3

ⓘ A derivada de

z^{n}

n z^{n - 1}

\frac{d}{d z} ({(z + 3)}^{5})

5 \cdot \frac{d}{d z} (z + 3) \cdot {(z + 3)}^{4}

5 \cdot \frac{d}{d z} (z + 3) \cdot {(z + 3)}^{4}

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d z} (z + 3)

1 + 0

5 \cdot (1 + 0) \cdot {(z + 3)}^{4}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

5 \cdot {(z + 3)}^{4}

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⓘ A derivada de

\frac{1}{5} \cdot {(z + 3)}^{5}

{(z + 3)}^{4}

, pelo que

\frac{1}{5} \cdot {(z + 3)}^{5}

é uma primitiva de

{(z + 3)}^{4}

\int {(z + 3)}^{4} d z

\frac{1}{5} \cdot {(z + 3)}^{5}

\frac{1}{5} \cdot {(z + 3)}^{5}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{5} \cdot {(z + 3)}^{5}

\frac{1 \cdot {(z + 3)}^{5}}{5}

\frac{{(z + 3)}^{5}}{5}

\frac{{(z + 3)}^{5}}{5}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{{(z + 3)}^{5}}{5} + C