integral de cos^2(x/3) — solução passo a passo

1) Vamos calcular a integral:

\int {\cos (\frac{x}{3})}^{2} d x

Reduzimos o quadrado com a identidade

{\cos (\frac{x}{3})}^{2} = \frac{1 + \cos (2 \cdot \frac{x}{3})}{2}

ⅰ

\int {\cos (\frac{x}{3})}^{2} d x

\int \frac{1 + \cos (\frac{2 x}{3})}{2} d x

\int \frac{1 + \cos (\frac{2 x}{3})}{2} d x

ⅰ

\int \frac{1 + \cos (\frac{2 x}{3})}{2} d x

\int \frac{1}{2} d x + \int \frac{\cos (\frac{2 x}{3})}{2} d x

\int \frac{1}{2} d x + \int \frac{\cos (\frac{2 x}{3})}{2} d x

Para a expressão matemática

\frac{\cos (\frac{2 x}{3})}{2}

, sabendo que (sin(a))' = a'*cos(a), tentamos derivar

\sin (\frac{2 x}{3})

2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\sin (\frac{2 x}{3}))

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

com f =

\frac{2 x}{3}

ⓘ A derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (\frac{2 x}{3}))

\frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3}) \cdot \cos (\frac{2 x}{3})

\frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3}) \cdot \cos (\frac{2 x}{3})

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

. A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3})

\frac{2}{3}

\frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{2 x}{3})

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{2}{3} \cdot \cos (\frac{2 x}{3})

\frac{2 \cdot \cos (\frac{2 x}{3})}{3}

\frac{2 \cdot \cos (\frac{2 x}{3})}{3}

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⓘ A derivada de

\frac{1}{2} \cdot x

\frac{1}{2}

, pelo que

\frac{1}{2} \cdot x

é uma primitiva de

\frac{1}{2}

\int \frac{1}{2} d x

\frac{1}{2} \cdot x

■A derivada de

\frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{2 x}{3})

\frac{\cos (\frac{2 x}{3})}{2}

, pelo que

\frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{2 x}{3})

é uma primitiva de

\frac{\cos (\frac{2 x}{3})}{2}

\int \frac{\cos (\frac{2 x}{3})}{2} d x

\frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{2 x}{3})

\frac{1}{2} \cdot x + \frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{2 x}{3})

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{2} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{2}

\frac{x}{2}

\frac{3}{4} \cdot \sin (\frac{2 x}{3})

\frac{3 \cdot \sin (\frac{2 x}{3})}{4}

\frac{x}{2} + \frac{3 \cdot \sin (\frac{2 x}{3})}{4}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{x}{2} + \frac{3 \cdot \sin (\frac{2 x}{3})}{4} + C