integral de e^(-x)/(9e^(-2x)+1)^(3/2)

Vamos integrar:

\int \frac{e^{- x}}{{(9 e^{-2 x} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x

Fazemos

u = e^{- x}

. Então

du = - e^{- x} \cdot dx

, pelo que

e^{- x} \cdot dx = - du

\int \frac{e^{- x}}{{(9 e^{-2 x} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x = - \int \frac{1}{{(9 u^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u

Vamos calcular a integral:

\int \frac{1}{{(9 u^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u

Procuramos uma primitiva da forma

\frac{u}{\sqrt{9 u^{2} + 1}}

. A regra do quociente e a derivada da raiz dão

\frac{d}{d u} (\frac{u}{\sqrt{9 u^{2} + 1}}) = \frac{1}{{(9 u^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}

Este cálculo é válido em cada intervalo real onde

9 u^{2} + 1 > 0

ⓘ A derivada de

\frac{u}{\sqrt{9 u^{2} + 1}}

\frac{1}{{(9 u^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}

, pelo que

\frac{u}{\sqrt{9 u^{2} + 1}}

é uma primitiva de

\frac{1}{{(9 u^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}

\int \frac{1}{{(9 u^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d u

\frac{u}{\sqrt{9 u^{2} + 1}}

\frac{u}{\sqrt{9 u^{2} + 1}}

Substituímos

u

por

e^{- x}

na primitiva

ⅰ

\int \frac{e^{- x}}{{(9 e^{-2 x} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x

- \frac{1}{\sqrt{9 + e^{x \cdot 2}}}

- \frac{1}{\sqrt{9 + e^{x \cdot 2}}}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

- \frac{1}{\sqrt{e^{2 x} + 9}} + C