integral de ln(10x) — solução passo a passo

1) Vamos integrar:

\int \ln (10 x) d x

⇥Para

\ln (10 x)

, utilizamos a integração por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

com u1 =

\ln (10 x)

e v2' =

1

⇥1.1) Vamos derivar u1:

\frac{d}{d x} (\ln (10 x))

⇥Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

com f =

10 x

⇥ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (10 x))

\frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

⇥

\frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

\frac{\frac{d}{d x} (10 x) \cdot 1}{10 x}

\frac{\frac{d}{d x} (10 x)}{10 x}

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (10 x)

10

⇥

\frac{10}{10 x}

⇥ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{10}{10 x}

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥Portanto,

u1'

vale

\frac{1}{x}

⇥1.2) Vamos calcular a integral v2':

\int 1 d x

⇥ⓘ A derivada de

x

1

, pelo que

x

é uma primitiva de

1

\int 1 d x

x

⇥

x

⇥1.3) Vamos calcular

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot x

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{x} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{x}

\frac{x}{x}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum

x

\frac{x}{x}

1

⇥

1

⇥1.4) Vamos calcular

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

\ln (10 x) \cdot x - \int 1 d x

⇥ⓘ A derivada de

- x

-1

, pelo que

- x

é uma primitiva de

-1

- \int 1 d x

- x

⇥

\ln (10 x) \cdot x - x

Depois continuamos a integração:

ⅰ

\int \ln (10 x) d x

\ln (10 x) \cdot x - x

\ln (10 x) \cdot x - x

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

x \cdot \ln (10 x) - x + C