integral de ln(x)(sqrt(1-(ln(x))^2))/x

⚠ ln(x)(sqrt(1-(ln(x))^2))/x é interpretado como ln(x)*(sqrt(1-(ln(x))^2))/x: utilize (...)*(...) para uma multiplicação, utilize (...)^(...) para uma potência

1) Vamos calcular a integral:

\int \frac{\ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x} d x

Para a expressão matemática

\frac{\ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}

, sabendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), tentamos derivar

{(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}

2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{1}{2} + 1})

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{1}{2} + 1

\frac{1 + 2}{2}

\frac{d}{d x} ({(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}})

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 2

3

\frac{d}{d x} ({(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

1 - {\ln (x)}^{2}

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}})

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (1 - {\ln (x)}^{2}) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (1 - {\ln (x)}^{2}) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (1 - {\ln (x)}^{2}) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}

\frac{3 \cdot \frac{d}{d x} (1 - {\ln (x)}^{2}) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{2}

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (1 - {\ln (x)}^{2})

0 + \frac{d}{d x} (- {\ln (x)}^{2})

\frac{3 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- {\ln (x)}^{2})) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{2}

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

\ln (x)

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (- {\ln (x)}^{2})

\frac{d}{d x} (- {\ln (x)}^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (- {\ln (x)}^{2})

- 2 \cdot \frac{d}{d x} (\ln (x)) \cdot \ln (x)

\frac{3 \cdot (- 2 \cdot \frac{d}{d x} (\ln (x)) \cdot \ln (x)) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{2}

ⓘ Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

3 \cdot (-2)

-6

■A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

\frac{-6 \cdot \frac{1}{x} \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{2}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

-6 \cdot \frac{1}{x} \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}

\frac{-6 \cdot 1 \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}

\frac{-6 \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}

\frac{\frac{-6 \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}}{2}

\frac{- \frac{6 \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}}{2}

- \frac{\frac{6 \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}}{2}

ⓘ Dividir uma fração por

2

equivale a multiplicar o seu denominador por

2

- \frac{\frac{6 \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}}{2}

- \frac{6 \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{2 x}

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

- \frac{6 \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{2 x}

- \frac{3 \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}

- \frac{3 \cdot \ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⓘ A derivada de

- \frac{1}{3} \cdot {(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}}

\frac{\ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}

, pelo que

- \frac{1}{3} \cdot {(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}}

é uma primitiva de

\frac{\ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x}

\int \frac{\ln (x) \cdot \sqrt{1 - {\ln (x)}^{2}}}{x} d x

- \frac{1}{3} \cdot {(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}}

- \frac{1}{3} \cdot {(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

- \frac{1}{3} \cdot {(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}}

- \frac{1 \cdot {(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}

- \frac{{(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}

- \frac{{(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

- \frac{{(1 - {\ln (x)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C