integral de -sin(x)sec(x)tan(x) — solução passo a passo

⚠ -sin(x)sec(x)tan(x) é interpretado como -sin(x)*sec(x)*tan(x): utilize (...)*(...) para uma multiplicação, utilize (...)^(...) para uma potência

A secante é interpretada como

\sec (u) = \frac{1}{\cos (u)}

, em cada intervalo onde

\cos (u) \neq 0

1) Antes de integrar, vamos calcular:

- \sin (x) \cdot \frac{1}{\cos (x)} \cdot \tan (x)

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

- \sin (x) \cdot \frac{1}{\cos (x)} \cdot \tan (x)

\frac{- \sin (x) \cdot 1 \cdot \tan (x)}{\cos (x)}

\frac{- \sin (x) \cdot \tan (x)}{\cos (x)}

- \frac{\sin (x) \cdot \tan (x)}{\cos (x)}

ⓘ Quando

\cos (x) \neq 0

\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \tan (x)

- \frac{\sin (x) \cdot \tan (x)}{\cos (x)}

- \tan (x) \cdot \tan (x)

- \tan (x) \cdot \tan (x)

ⓘ Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

- \tan (x) \cdot \tan (x)

- {\tan (x)}^{2}

- {\tan (x)}^{2}

2) Vamos calcular a integral:

\int (- {\tan (x)}^{2}) d x

Reduzimos o quadrado com a identidade

{\tan (x)}^{2} = \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1

ⅰ

\int (- {\tan (x)}^{2}) d x

- \int (\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1) d x

- \int (\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1) d x

Para a expressão matemática

\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

, sabendo que (tan(a))' = a'/cos(a)^2, tentamos derivar

\tan (x)

3) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\tan (x))

ⓘ A derivada de

\tan (x)

\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{d}{d x} (\tan (x))

\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⅰ

- \int (\frac{1}{{\cos (x)}^{2}} - 1) d x

- (\tan (x) + \int (-1) d x)

- (\tan (x) + \int (-1) d x)

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (\tan (x) + \int (-1) d x)

- \tan (x) - \int (-1) d x

- \tan (x) - \int (-1) d x

ⓘ A derivada de

- (-1 \cdot x)

1

, pelo que

- (-1 \cdot x)

é uma primitiva de

1

- \int (-1) d x

- (-1 \cdot x)

- \tan (x) - (-1 \cdot x)

ⓘ Multiplicar por -1 dá o oposto:

- (-1 \cdot x)

x

- \tan (x) + x

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

x - \tan (x) + C