integral de sin^2(x)/2 — solução passo a passo

1) Vamos integrar:

\int \frac{{\sin (x)}^{2}}{2} d x

Reduzimos o quadrado com a identidade

{\sin (x)}^{2} = \frac{1 - \cos (2 x)}{2}

ⅰ

\int \frac{{\sin (x)}^{2}}{2} d x

\int \frac{1 - \cos (2 x)}{4} d x

\int \frac{1 - \cos (2 x)}{4} d x

ⅰ

\int \frac{1 - \cos (2 x)}{4} d x

\int \frac{1}{4} d x - \int \frac{\cos (2 x)}{4} d x

\int \frac{1}{4} d x - \int \frac{\cos (2 x)}{4} d x

Para a expressão matemática

\frac{\cos (2 x)}{4}

, sabendo que (sin(a))' = a'*cos(a), tentamos derivar

\sin (2 x)

2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\sin (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \cos (f)

com f =

2 x

ⓘ A derivada de

\sin (x)

\cos (x)

\frac{d}{d x} (\sin (2 x))

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

\frac{d}{d x} (2 x) \cdot \cos (2 x)

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2 \cdot \cos (2 x)

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⓘ A derivada de

\frac{1}{4} \cdot x

\frac{1}{4}

, pelo que

\frac{1}{4} \cdot x

é uma primitiva de

\frac{1}{4}

\int \frac{1}{4} d x

\frac{1}{4} \cdot x

■A derivada de

- \frac{1}{8} \cdot \sin (2 x)

- \frac{\cos (2 x)}{4}

, pelo que

- \frac{1}{8} \cdot \sin (2 x)

é uma primitiva de

- \frac{\cos (2 x)}{4}

- \int \frac{\cos (2 x)}{4} d x

- \frac{1}{8} \cdot \sin (2 x)

\frac{1}{4} \cdot x - \frac{1}{8} \cdot \sin (2 x)

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{4} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{4}

\frac{x}{4}

\frac{1}{8} \cdot \sin (2 x)

\frac{1 \cdot \sin (2 x)}{8}

\frac{\sin (2 x)}{8}

\frac{x}{4} - \frac{\sin (2 x)}{8}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{x}{4} - \frac{\sin (2 x)}{8} + C