integral de sqrt(3x-12) — solução passo a passo

1) Vamos integrar:

\int \sqrt{3 x - 12} d x

Para a expressão matemática

\sqrt{3 x - 12}

, sabendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), tentamos derivar

{(3 x - 12)}^{\frac{1}{2} + 1}

2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({(3 x - 12)}^{\frac{1}{2} + 1})

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{1}{2} + 1

\frac{1 + 2}{2}

\frac{d}{d x} ({(3 x - 12)}^{\frac{1 + 2}{2}})

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 2

3

\frac{d}{d x} ({(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

3 x - 12

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}})

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 12) \cdot \sqrt{3 x - 12}

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 12) \cdot \sqrt{3 x - 12}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 12) \cdot \sqrt{3 x - 12}

\frac{3 \cdot \frac{d}{d x} (3 x - 12) \cdot \sqrt{3 x - 12}}{2}

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (3 x - 12)

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{3 \cdot (\frac{d}{d x} (3 x) + 0) \cdot \sqrt{3 x - 12}}{2}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (3 x) + 0

\frac{d}{d x} (3 x)

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x)

3

\frac{3 \cdot 3 \cdot \sqrt{3 x - 12}}{2}

ⅰ

3 \cdot 3

9

\frac{9 \cdot \sqrt{3 x - 12}}{2}

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⓘ A derivada de

\frac{2}{9} \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}

\sqrt{3 x - 12}

, pelo que

\frac{2}{9} \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}

é uma primitiva de

\sqrt{3 x - 12}

\int \sqrt{3 x - 12} d x

\frac{2}{9} \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}

\frac{2}{9} \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{2}{9} \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}

\frac{2 \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}}{9}

\frac{2 \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}}{9}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{2 \cdot {(3 x - 12)}^{\frac{3}{2}}}{9} + C