integral de t^2e^{-4t} — solução passo a passo

⚠ t^2e^{-4t} é interpretado como t^2e^(-4t): utilize ^(...) para agrupar um expoente, utilize * para multiplicar

1) Antes de integrar, vamos calcular:

t^{2} e^{-4 t}

ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

t^{2} e^{- 4 t}

\frac{t^{2}}{e^{4 t}}

\frac{t^{2}}{e^{4 t}}

2) Vamos calcular a integral:

\int \frac{t^{2}}{e^{4 t}} d t

Uma primitiva de

e^{- 4 t}

- \frac{1}{4 e^{4 t}}

. Repetimos a fórmula

\int t^{2} e^{- 4 t} d t = t^{2} \cdot (- \frac{1}{4 e^{4 t}}) - \int 2 t \cdot (- \frac{1}{4 e^{4 t}}) d t

3) Integramos por partes, derivando o polinómio e integrando a exponencial. Cada derivação reduz o grau do polinómio até obter uma constante

Após derivar 0 vezes, o polinómio é

t^{2}

, pelo que a sua contribuição para a primitiva é

e^{- 4 t} \cdot (- \frac{t^{2}}{4})

Após derivar 1 vez, o polinómio é

2 t

, pelo que a sua contribuição para a primitiva é

e^{- 4 t} \cdot (- \frac{2 t}{16})

Após derivar 2 vezes, o polinómio é

2

, pelo que a sua contribuição para a primitiva é

e^{- 4 t} \cdot (- \frac{2}{64})

4) A derivada seguinte é nula: somamos as contribuições com o mesmo denominador, deixando a exponencial à parte:

- \frac{t^{2}}{4} - \frac{2 t}{16} - \frac{2}{64}

\frac{- 16 t^{2} - 4 \cdot 2 t - 2}{64}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 2

8

■Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 16 t^{2} - 8 t - 2

- (16 t^{2} + 8 t + 2)

- \frac{16 t^{2} + 8 t + 2}{64}

ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

- \frac{16 t^{2} + 8 t + 2}{64}

- \frac{8 t^{2} + 4 t + 1}{32}

- \frac{8 t^{2} + 4 t + 1}{32}

5) Reintroduzimos o fator exponencial:

e^{- 4 t} \cdot \frac{- 8 t^{2} - 4 t - 1}{32}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

e^{- 4 t} \cdot \frac{- 8 t^{2} - 4 t - 1}{32}

\frac{e^{- 4 t} \cdot (- 8 t^{2} - 4 t - 1)}{32}

■Colocamos o sinal de menos em evidência, mudando o sinal de cada termo:

- 8 t^{2} - 4 t - 1

- (8 t^{2} + 4 t + 1)

\frac{e^{- 4 t} \cdot (- (8 t^{2} + 4 t + 1))}{32}

ⓘ Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

e^{- 4 t} \cdot (- (8 t^{2} + 4 t + 1))

- e^{- 4 t} \cdot (8 t^{2} + 4 t + 1)

- \frac{e^{- 4 t} \cdot (8 t^{2} + 4 t + 1)}{32}

ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

- \frac{e^{- 4 t} \cdot (8 t^{2} + 4 t + 1)}{32}

- \frac{8 t^{2} + 4 t + 1}{32 e^{4 t}}

ⅰ

\int \frac{t^{2}}{e^{4 t}} d t

- \frac{8 t^{2} + 4 t + 1}{32 e^{4 t}}

- \frac{8 t^{2} + 4 t + 1}{32 e^{4 t}}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

- \frac{8 t^{2} + 4 t + 1}{32 e^{4 t}} + C