integral de v(u+v^2)^4 — solução passo a passo

A expressão

v \cdot {(u + v^{2})}^{4}

contém várias variáveis: escolhemos a variável v para a integração

1) Vamos integrar:

\int v \cdot {(u + v^{2})}^{4} d v

Para a expressão matemática

v \cdot {(u + v^{2})}^{4}

, sabendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), tentamos derivar

{(u + v^{2})}^{4 + 1}

2) Vamos derivar:

\frac{d}{d v} ({(u + v^{2})}^{4 + 1})

ⓘ O expoente calcula-se antes da potência:

4 + 1

5

\frac{d}{d v} ({(u + v^{2})}^{5})

Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d v} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d v} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

u + v^{2}

ⓘ A derivada de

v^{n}

n v^{n - 1}

\frac{d}{d v} ({(u + v^{2})}^{5})

5 \cdot \frac{d}{d v} (u + v^{2}) \cdot {(u + v^{2})}^{4}

5 \cdot \frac{d}{d v} (u + v^{2}) \cdot {(u + v^{2})}^{4}

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d v} (u + v^{2})

\frac{d}{d v} (u) + \frac{d}{d v} (v^{2})

5 \cdot (\frac{d}{d v} (u) + \frac{d}{d v} (v^{2})) \cdot {(u + v^{2})}^{4}

ⓘ A derivada de uma constante é nula:

\frac{d}{d v} (u)

0

■A derivada de

v^{n}

n v^{n - 1}

\frac{d}{d v} (v^{2})

2 \cdot \frac{d}{d v} (v) \cdot v

5 \cdot (0 + 2 \cdot \frac{d}{d v} (v) \cdot v) \cdot {(u + v^{2})}^{4}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + 2 \cdot \frac{d}{d v} (v) \cdot v

2 \cdot \frac{d}{d v} (v) \cdot v

■A derivada de

v

1

\frac{d}{d v} (v)

1

5 \cdot 2 \cdot 1 \cdot v \cdot {(u + v^{2})}^{4}

5 \cdot 2 v \cdot {(u + v^{2})}^{4}

ⅰ

5 \cdot 2

10

10 v \cdot {(u + v^{2})}^{4}

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⓘ A derivada de

\frac{1}{10} \cdot {(u + v^{2})}^{5}

v \cdot {(u + v^{2})}^{4}

, pelo que

\frac{1}{10} \cdot {(u + v^{2})}^{5}

é uma primitiva de

v \cdot {(u + v^{2})}^{4}

\int v \cdot {(u + v^{2})}^{4} d v

\frac{1}{10} \cdot {(u + v^{2})}^{5}

\frac{1}{10} \cdot {(u + v^{2})}^{5}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{10} \cdot {(u + v^{2})}^{5}

\frac{1 \cdot {(u + v^{2})}^{5}}{10}

\frac{{(u + v^{2})}^{5}}{10}

\frac{{(u + v^{2})}^{5}}{10}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{{(u + v^{2})}^{5}}{10} + C