integral de x^2ln(9x) — solução passo a passo

1) Vamos integrar:

\int x^{2} \cdot \ln (9 x) d x

⇥Para

x^{2} \cdot \ln (9 x)

, utilizamos a integração por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

com u1 =

\ln (9 x)

e v2' =

x^{2}

⇥1.1) Vamos derivar u1:

\frac{d}{d x} (\ln (9 x))

⇥Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

com f =

9 x

⇥ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (9 x))

\frac{d}{d x} (9 x) \cdot \frac{1}{9 x}

⇥

\frac{d}{d x} (9 x) \cdot \frac{1}{9 x}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{d}{d x} (9 x) \cdot \frac{1}{9 x}

\frac{\frac{d}{d x} (9 x) \cdot 1}{9 x}

\frac{\frac{d}{d x} (9 x)}{9 x}

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (9 x)

9

⇥

\frac{9}{9 x}

⇥ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{9}{9 x}

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥Portanto,

u1'

vale

\frac{1}{x}

⇥1.2) Vamos integrar v2':

\int x^{2} d x

⇥ⓘ Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int x^{2} d x

\frac{x^{3}}{3}

⇥

\frac{x^{3}}{3}

⇥1.3) Vamos avaliar

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{1 \cdot x^{3}}{x \cdot 3}

\frac{x^{3}}{x \cdot 3}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

\frac{x^{3}}{x \cdot 3}

\frac{x^{2}}{3}

⇥

\frac{x^{2}}{3}

⇥1.4) Vamos calcular

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

\ln (9 x) \cdot \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{x^{2}}{3} d x

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\ln (9 x) \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{\ln (9 x) \cdot x^{3}}{3}

■Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int \frac{x^{2}}{3} d x

- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥

\frac{\ln (9 x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}

⇥ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{1 \cdot x^{3}}{3 \cdot 3}

\frac{x^{3}}{9}

⇥

\frac{\ln (9 x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{\ln (9 x) \cdot x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}

\frac{3 \cdot \ln (9 x) \cdot x^{3} - x^{3}}{9}

⇥

\frac{3 \cdot \ln (9 x) \cdot x^{3} - x^{3}}{9}

⇥ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{3 \cdot \ln (9 x) \cdot x^{3} - x^{3}}{9}

\frac{x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (9 x) - 1)}{9}

⇥

\frac{x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (9 x) - 1)}{9}

Finalmente terminamos a integração:

ⅰ

\int x^{2} \cdot \ln (9 x) d x

\frac{x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (9 x) - 1)}{9}

\frac{x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (9 x) - 1)}{9}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

\frac{x^{3} \cdot (3 \cdot \ln (9 x) - 1)}{9} + C