integral de x/(1-2x) — solução passo a passo

1) Vamos integrar:

\int \frac{x}{1 - 2 x} d x

2) Vamos começar a divisão euclidiana de

(x)

por

(- 2 x + 1)

Expressão atual	Divisão dos termos principais	Quociente	Quociente × divisor	Resto após a subtração
$x$	$\frac{x}{- 2 x}$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2} \cdot (- 2 x + 1) = x - \frac{1}{2}$	$x - (x - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

Portanto, o resultado da divisão euclidiana é:

- \frac{1}{2}

- \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{- 2 x + 1}

ⓘ Dividir uma fração por

- 2 x + 1

equivale a multiplicar o seu denominador por

- 2 x + 1

\frac{\frac{1}{2}}{- 2 x + 1}

\frac{1}{2 \cdot (- 2 x + 1)}

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot (- 2 x + 1)}

\frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)} - \frac{1}{2}

3) Vamos integrar:

\int (\frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)} - \frac{1}{2}) d x

ⅰ

\int (\frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)} - \frac{1}{2}) d x

\int \frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)} d x - \int \frac{1}{2} d x

\int \frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)} d x - \int \frac{1}{2} d x

Fazemos

u = 2 - 4 x

. Então

du = - 4 dx

, pelo que

dx = - \frac{du}{4}

\int \frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)} d x = - \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{u} d u

Utilizamos

\int \frac{1}{u} d u = \ln | u |

. O valor absoluto permite tratar ambos os sinais do denominador, em qualquer intervalo onde

2 - 4 x \neq 0

Substituímos

u

por

2 - 4 x

na primitiva

ⓘ A derivada de

- \frac{1}{4} \cdot \ln | 2 - 4 x |

\frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)}

, pelo que

- \frac{1}{4} \cdot \ln | 2 - 4 x |

é uma primitiva de

\frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)}

\int \frac{1}{2 \cdot (1 - 2 x)} d x

- \frac{1}{4} \cdot \ln | 2 - 4 x |

■A derivada de

- \frac{1}{2} \cdot x

- \frac{1}{2}

, pelo que

- \frac{1}{2} \cdot x

é uma primitiva de

- \frac{1}{2}

- \int \frac{1}{2} d x

- \frac{1}{2} \cdot x

- \frac{1}{4} \cdot \ln | 2 - 4 x | - \frac{1}{2} \cdot x

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{4} \cdot \ln | 2 - 4 x |

\frac{1 \cdot \ln | 2 - 4 x |}{4}

\frac{\ln | 2 - 4 x |}{4}

\frac{1}{2} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{2}

\frac{x}{2}

ⅰ

\int \frac{x}{1 - 2 x} d x

- \frac{\ln | 2 - 4 x |}{4} - \frac{x}{2}

- \frac{\ln | 2 - 4 x |}{4} - \frac{x}{2}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

- \frac{x}{2} - \frac{\ln | 2 - 4 x |}{4} + C