integral de x/((x^2+7)^2) — solução passo a passo

1) Vamos calcular a integral:

\int \frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}} d x

Para a expressão matemática

\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}

, sabendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), tentamos derivar

{(x^{2} + 7)}^{- 2 + 1}

2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{- 2 + 1})

ⓘ O expoente calcula-se antes da potência:

- 2 + 1

-1

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{-1})

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

x^{2} + 7

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 7) \cdot {(x^{2} + 7)}^{-2}

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 7) \cdot {(x^{2} + 7)}^{-2}

ⓘ Multiplicar por -1 dá o oposto:

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 7) \cdot {(x^{2} + 7)}^{-2}

- \frac{d}{d x} (x^{2} + 7) \cdot {(x^{2} + 7)}^{-2}

- \frac{d}{d x} (x^{2} + 7) \cdot {(x^{2} + 7)}^{-2}

ⓘ Passamos o fator para o numerador ou para o denominador mudando o sinal do seu expoente, para uma base não nula:

- \frac{d}{d x} (x^{2} + 7) \cdot {(x^{2} + 7)}^{-2}

- \frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}

- \frac{\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}

ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{2} + 7)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

- \frac{\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0}{{(x^{2} + 7)}^{2}}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

- \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⓘ A derivada de

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 7}

\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}

, pelo que

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 7}

é uma primitiva de

\frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}

\int \frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{2}} d x

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 7}

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 7}

ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2} + 7}

- \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot (x^{2} + 7)}

- \frac{1}{2 \cdot (x^{2} + 7)}

- \frac{1}{2 \cdot (x^{2} + 7)}

▶As integrais indefinidas são determinadas a menos de uma constante aditiva C, o que dá:

- \frac{1}{2 \cdot (x^{2} + 7)} + C