integral de xln(10x) entre 0 e 1/10 — solução passo a passo

⚠ xln(10x) é interpretado como x*ln(10x): utilize * para uma multiplicação, utilize ^ para uma potência

1) Vamos calcular a integral:

\int_{0}^{\frac{1}{10}} x \cdot \ln (10 x) d x

⇥Para

x \cdot \ln (10 x)

, utilizamos a integração por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

com u1 =

\ln (10 x)

e v2' =

x

⇥1.1) Vamos derivar u1:

\frac{d}{d x} (\ln (10 x))

⇥Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

com f =

10 x

⇥ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (10 x))

\frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

⇥

\frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

\frac{\frac{d}{d x} (10 x) \cdot 1}{10 x}

\frac{\frac{d}{d x} (10 x)}{10 x}

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (10 x)

10

⇥

\frac{10}{10 x}

⇥ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{10}{10 x}

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥Portanto,

u1'

vale

\frac{1}{x}

⇥1.2) Vamos calcular a integral v2':

\int x d x

⇥ⓘ Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int x d x

\frac{x^{2}}{2}

⇥

\frac{x^{2}}{2}

⇥1.3) Vamos calcular

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{1 \cdot x^{2}}{x \cdot 2}

\frac{x^{2}}{x \cdot 2}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

\frac{x^{2}}{x \cdot 2}

\frac{x}{2}

⇥

\frac{x}{2}

⇥1.4) Vamos calcular

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

\ln (10 x) \cdot \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{x}{2} d x

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\ln (10 x) \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{\ln (10 x) \cdot x^{2}}{2}

■Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

- \int \frac{x}{2} d x

- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥

\frac{\ln (10 x) \cdot x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

⇥ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{1 \cdot x^{2}}{2 \cdot 2}

\frac{x^{2}}{4}

⇥

\frac{\ln (10 x) \cdot x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

⇥ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{\ln (10 x) \cdot x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

\frac{2 \cdot \ln (10 x) \cdot x^{2} - x^{2}}{4}

⇥

\frac{2 \cdot \ln (10 x) \cdot x^{2} - x^{2}}{4}

⇥ⓘ Colocamos em evidência o fator comum dos termos para poder simplificar a fração:

\frac{2 \cdot \ln (10 x) \cdot x^{2} - x^{2}}{4}

\frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)}{4}

⇥

\frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)}{4}

Finalmente terminamos a integração:

ⅰ

\int x \cdot \ln (10 x) d x

\frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)}{4}

▷

\frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)}{4}

O integrando não está definido em

0

: tomamos o limite da primitiva a partir do interior do intervalo

⇥1.5) Vamos calcular o limite de

\frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)}{4}

quando

x \to 0

⁺

⇥ O limite de

x^{2}

0

⁺ quando

x \to 0

⁺

⇥ⓘ O limite de um produto com limites finitos é o produto dos limites

⇥ O limite de

10 x

é (

10 \cdot 0

)⁺ quando

x \to 0

⁺

⇥Vamos avaliar:

10 \cdot 0

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

10 \cdot 0

0

⇥

0

⇥ⓘ É um limite conhecido da função ln

⇥ O limite de

\ln (10 x)

-∞

quando

x \to 0

⁺

⇥ⓘ Uma quantidade infinitamente grande multiplicada por uma quantidade de limite não nulo continua a ser infinitamente grande; os sinais determinam +∞ ou -∞

⇥ O limite de

2 \cdot \ln (10 x)

-∞

quando

x \to 0

⁺

⇥ⓘ Uma quantidade infinitamente grande mais uma quantidade finita ou limitada continua a ser infinitamente grande

⇥ O limite de

2 \cdot \ln (10 x) - 1

-∞

quando

x \to 0

⁺

⇥Para

x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)

, obtemos a forma indeterminada

0 \cdot -∞

quando

x

tende para

0

⇥1.6) Para resolver a indeterminação 0 × ∞, reescrevemos o produto

x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)

como o quociente

\frac{2 \cdot \ln (10 x) - 1}{\frac{1}{x^{2}}}

⇥ⓘ Um número não nulo dividido por uma quantidade que tende para 0 torna-se infinitamente grande; os sinais determinam +∞ ou -∞

⇥ O limite de

\frac{1}{x^{2}}

+∞

quando

x \to 0

⁺

⇥Para

\frac{2 \cdot \ln (10 x) - 1}{\frac{1}{x^{2}}}

, obtemos a forma indeterminada

- \frac{+∞}{+∞}

quando

x

tende para

0

⇥1.7) Aplicamos a regra de l'Hôpital: o limite de

\frac{a}{b}

é o de

\frac{a'}{b'}

, derivando o numerador e o denominador:

⇥1.8) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (2 \cdot \ln (10 x) - 1)

⇥ⓘ A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (2 \cdot \ln (10 x) - 1)

\frac{d}{d x} (2 \cdot \ln (10 x)) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (2 \cdot \ln (10 x)) + 0

⇥Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

com f =

10 x

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{d}{d x} (2 \cdot \ln (10 x)) + 0

\frac{d}{d x} (2 \cdot \ln (10 x))

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 \cdot \ln (10 x))

2 \cdot \frac{d}{d x} (\ln (10 x))

■A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (10 x))

\frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

⇥

2 \cdot \frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

2 \cdot \frac{d}{d x} (10 x) \cdot \frac{1}{10 x}

\frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (10 x) \cdot 1}{10 x}

\frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (10 x)}{10 x}

⇥

\frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (10 x)}{10 x}

⇥ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (10 x)}{10 x}

\frac{\frac{d}{d x} (10 x)}{5 x}

⇥

\frac{\frac{d}{d x} (10 x)}{5 x}

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (10 x)

10

⇥

\frac{10}{5 x}

⇥ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{10}{5 x}

\frac{2}{x}

⇥

\frac{2}{x}

⇥1.9) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})

⇥Para

p1

1

q2

x^{2}

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

⇥1.10) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (1)

⇥ⓘ A derivada de uma constante é nula:

\frac{d}{d x} (1)

0

⇥

0

⇥1.11) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (x^{2})

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

2 x

⇥1.12) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{0 \cdot x^{2} - 1 \cdot 2 x}{{(x^{2})}^{2}}

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot x^{2}

0

■Numa potência de uma potência, multiplicam-se os expoentes,

{(a^{n})}^{m} = a^{n m}

{(x^{2})}^{2}

x^{2 \cdot 2}

⇥

\frac{0 - 2 x}{x^{2 \cdot 2}}

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 2 x

- 2 x

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥

- \frac{2 x}{x^{4}}

⇥ⓘ O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

- \frac{2 x}{x^{4}}

- \frac{2}{x^{3}}

⇥

- \frac{2}{x^{3}}

⇥1.13) Depois continuamos a derivação:

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})

- \frac{2}{x^{3}}

⇥

- \frac{2}{x^{3}}

⇥Com as derivadas do numerador e do denominador obtemos uma nova fração cujo limite podemos determinar:

⇥

\frac{\frac{2}{x}}{- \frac{2}{x^{3}}}

⇥ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{\frac{2}{x}}{- \frac{2}{x^{3}}}

- \frac{\frac{2}{x}}{\frac{2}{x^{3}}}

⇥

- \frac{\frac{2}{x}}{\frac{2}{x^{3}}}

⇥ⓘ Dividir equivale a multiplicar pelo inverso:

- \frac{\frac{2}{x}}{\frac{2}{x^{3}}}

- \frac{2}{x} \cdot \frac{x^{3}}{2}

⇥

- \frac{2}{x} \cdot \frac{x^{3}}{2}

⇥ⓘ Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si:

- \frac{2}{x} \cdot \frac{x^{3}}{2}

- \frac{2 x^{3}}{x \cdot 2}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

- \frac{2 x^{3}}{x \cdot 2}

\frac{-2 x^{2}}{2}

⇥

\frac{-2 x^{2}}{2}

⇥

- \frac{2 x^{2}}{2}

⇥ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

- \frac{2 x^{2}}{2}

- x^{2}

⇥

- x^{2}

⇥ O limite de

- x^{2}

0

⁻ quando

x \to 0

⁺

⇥ O limite de

\frac{2 \cdot \ln (10 x) - 1}{\frac{1}{x^{2}}}

0

⁻ quando

x \to 0

⁺

⇥O limite de

x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)

0

⁻ quando

x \to 0

⁺

⇥Portanto, o limite de

\frac{x^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 x) - 1)}{4}

0

⁻ quando

x \to 0

⁺

2) Vamos avaliar no intervalo

[0; \frac{1}{10}]

\frac{{(\frac{1}{10})}^{2} \cdot (2 \cdot \ln (10 \cdot \frac{1}{10}) - 1)}{4}

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

10 \cdot \frac{1}{10}

\frac{10 \cdot 1}{10}

\frac{10}{10}

■Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

10

, o seu máximo divisor comum:

\frac{10}{10}

1

\frac{{(\frac{1}{10})}^{2} \cdot (2 \cdot \ln (1) - 1)}{4}

ⓘ

\ln (1) = 0

, pois

\exp (0) = 1

\ln (1)

0

\frac{{(\frac{1}{10})}^{2} \cdot (2 \cdot 0 - 1)}{4}

ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

2 \cdot 0

0

\frac{{(\frac{1}{10})}^{2} \cdot (0 - 1)}{4}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 1

-1

■Multiplicar por -1 dá o oposto:

{(\frac{1}{10})}^{2} \cdot (-1)

- {(\frac{1}{10})}^{2}

- \frac{{(\frac{1}{10})}^{2}}{4}

ⓘ A potência de um quociente é o quociente das potências,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{1}{10})}^{2}

\frac{1}{10^{2}}

- \frac{\frac{1}{10^{2}}}{4}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

10^{2}

10 \cdot 10

100

- \frac{\frac{1}{100}}{4}

ⓘ Dividir uma fração por

4

equivale a multiplicar o seu denominador por

4

- \frac{\frac{1}{100}}{4}

- \frac{1}{100 \cdot 4}

- \frac{1}{100 \cdot 4}

ⅰ

100 \cdot 4

400

▶Integral:

- \frac{1}{400}

3) O valor numérico de:

- \frac{1}{400}

vale:

▷

-0,0025