integral entre 0 e 1 de (1-x^2)^2 — solução passo a passo

1) Vamos integrar:

\int_{0}^{1} {(1 - x^{2})}^{2} d x

⇥Para

{(1 - x^{2})}^{2}

, utilizamos a integração por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

com u1 =

{(1 - x^{2})}^{2}

e v2' =

1

⇥1.1) Vamos derivar u1:

\frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{2})

⇥Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

1 - x^{2}

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2}) \cdot (1 - x^{2})

⇥

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2}) \cdot (1 - x^{2})

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2}) \cdot (1 - x^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2}) + 2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2}) \cdot (- x^{2})

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (1 - x^{2})

0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})

⇥

2 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + 2 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) \cdot (- x^{2})

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})

\frac{d}{d x} (- x^{2})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (- x^{2})

- 2 x

■Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

2 \cdot (- x^{2})

-2 x^{2}

⇥

2 \cdot (- 2 x) - 2 \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) \cdot x^{2}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

2 \cdot (-2)

-4

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (- x^{2})

- 2 x

⇥

- 4 x - 2 \cdot (- 2 x) \cdot x^{2}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-2 \cdot (-2)

4

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x x^{2}

x^{3}

⇥

- 4 x + 4 x^{3}

⇥Portanto,

u1'

vale

- 4 x + 4 x^{3}

⇥1.2) Vamos integrar v2':

\int 1 d x

⇥ⓘ A derivada de

x

1

, pelo que

x

é uma primitiva de

1

\int 1 d x

x

⇥

x

⇥1.3) Vamos calcular

u1' \cdot v2

(- 4 x + 4 x^{3}) \cdot x

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(- 4 x + 4 x^{3}) \cdot x

- 4 x^{2} + 4 x^{4}

⇥

- 4 x^{2} + 4 x^{4}

⇥1.4) Vamos calcular

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

{(1 - x^{2})}^{2} \cdot x - \int (- 4 x^{2} + 4 x^{4}) d x

⇥ⅰ

- \int (- 4 x^{2} + 4 x^{4}) d x

- (- \int 4 x^{2} d x + \int 4 x^{4} d x)

⇥

{(1 - x^{2})}^{2} \cdot x - (- \int 4 x^{2} d x + \int 4 x^{4} d x)

⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (- \int 4 x^{2} d x + \int 4 x^{4} d x)

\int 4 x^{2} d x - \int 4 x^{4} d x

⇥

{(1 - x^{2})}^{2} \cdot x + \int 4 x^{2} d x - \int 4 x^{4} d x

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int 4 x^{2} d x

4 \cdot \frac{x^{3}}{3}

- \int 4 x^{4} d x

- 4 \cdot \frac{x^{5}}{5}

⇥

{(1 - x^{2})}^{2} \cdot x + 4 \cdot \frac{x^{3}}{3} - 4 \cdot \frac{x^{5}}{5}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

4 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{4 x^{3}}{3}

4 \cdot \frac{x^{5}}{5}

\frac{4 x^{5}}{5}

⇥

{(1 - x^{2})}^{2} \cdot x + \frac{4 x^{3}}{3} - \frac{4 x^{5}}{5}

Depois continuamos a integração:

ⅰ

\int {(1 - x^{2})}^{2} d x

{(1 - x^{2})}^{2} \cdot x + \frac{4 x^{3}}{3} - \frac{4 x^{5}}{5}

▷

{(1 - x^{2})}^{2} \cdot x + \frac{4 x^{3}}{3} - \frac{4 x^{5}}{5}

2) Vamos avaliar no intervalo

[0; 1]

(- \frac{4 \cdot 1^{5}}{5} + \frac{4 \cdot 1^{3}}{3} + 1 \cdot {(1 - 1^{2})}^{2}) - (- \frac{4 \cdot 0^{5}}{5} + \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} + 0 \cdot {(1 - 0^{2})}^{2})

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (- \frac{4 \cdot 0^{5}}{5} + \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} + 0 \cdot {(1 - 0^{2})}^{2})

\frac{4 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} + 0 \cdot {(1 - 0^{2})}^{2}

- \frac{4}{5}

+ \frac{4}{3}

+ {(1 - 1)}^{2}

+ \frac{4 \cdot 0^{5}}{5}

- \frac{4 \cdot 0^{3}}{3}

+ 0 \cdot {(1 - 0^{2})}^{2}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores. Escolhemos

15

, o mínimo múltiplo comum de

5

3

. Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número não altera a fração:

- \frac{4}{5} + \frac{4}{3}

\frac{-4 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5}

\frac{- 4 \cdot 3 + 4 \cdot 5}{5 \cdot 3}

■Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

1 - 1

0

■Um produto com um fator nulo é nulo:

4 \cdot 0

0

0 \cdot 1

0

■Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

\frac{- 4 \cdot 3 + 4 \cdot 5}{5 \cdot 3}

+ 0^{2}

+ 0

+ 0

+ 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{- 4 \cdot 3 + 4 \cdot 5}{5 \cdot 3}

+ 0

+ 0

+ 0

+ 0

\frac{- 4 \cdot 3 + 4 \cdot 5}{5 \cdot 3}

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 3

12

4 \cdot 5

20

ⅰ

5 \cdot 3

15

\frac{- 12 + 20}{15}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 12 + 20

8

▶Integral:

\frac{8}{15}

3) O valor numérico de:

\frac{8}{15}

é:

▷

\approx 0,5333