integral entre 0 e 1 de (1-x^7)^2 — solução passo a passo

1) Vamos integrar:

\int_{0}^{1} {(1 - x^{7})}^{2} d x

⇥Para

{(1 - x^{7})}^{2}

, utilizamos a integração por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

com u1 =

{(1 - x^{7})}^{2}

e v2' =

1

⇥1.1) Vamos derivar u1:

\frac{d}{d x} ({(1 - x^{7})}^{2})

⇥Aplicamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

1 - x^{7}

⇥ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(1 - x^{7})}^{2})

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{7}) \cdot (1 - x^{7})

⇥

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{7}) \cdot (1 - x^{7})

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{7}) \cdot (1 - x^{7})

2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{7}) + 2 \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{7}) \cdot (- x^{7})

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (1 - x^{7})

0 + \frac{d}{d x} (- x^{7})

⇥

2 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{7})) + 2 \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{7})) \cdot (- x^{7})

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 + \frac{d}{d x} (- x^{7})

\frac{d}{d x} (- x^{7})

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (- x^{7})

- 7 x^{6}

■Colocamos o sinal de menos à frente do produto:

2 \cdot (- x^{7})

-2 x^{7}

⇥

2 \cdot (- 7 x^{6}) - 2 \cdot \frac{d}{d x} (- x^{7}) \cdot x^{7}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Um único sinal de menos não se anula: o produto de um número negativo por um positivo é negativo:

2 \cdot (-7)

-14

■A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (- x^{7})

- 7 x^{6}

⇥

- 14 x^{6} - 2 \cdot (- 7 x^{6}) \cdot x^{7}

⇥ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações. Dois sinais de menos anulam-se: o produto de dois números negativos é positivo:

-2 \cdot (-7)

14

■Multiplicar potências da mesma base equivale a somar os expoentes:

x^{6} x^{7}

x^{13}

⇥

- 14 x^{6} + 14 x^{13}

⇥Portanto,

u1'

vale

- 14 x^{6} + 14 x^{13}

⇥1.2) Vamos calcular a integral v2':

\int 1 d x

⇥ⓘ A derivada de

x

1

, pelo que

x

é uma primitiva de

1

\int 1 d x

x

⇥

x

⇥1.3) Vamos avaliar

u1' \cdot v2

(- 14 x^{6} + 14 x^{13}) \cdot x

⇥ⓘ Desenvolvemos pela propriedade distributiva, multiplicando cada termo da soma pelo outro fator:

(- 14 x^{6} + 14 x^{13}) \cdot x

- 14 x^{7} + 14 x^{14}

⇥

- 14 x^{7} + 14 x^{14}

⇥1.4) Vamos calcular

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

{(1 - x^{7})}^{2} \cdot x - \int (- 14 x^{7} + 14 x^{14}) d x

⇥ⅰ

- \int (- 14 x^{7} + 14 x^{14}) d x

- (- \int 14 x^{7} d x + \int 14 x^{14} d x)

⇥

{(1 - x^{7})}^{2} \cdot x - (- \int 14 x^{7} d x + \int 14 x^{14} d x)

⇥ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (- \int 14 x^{7} d x + \int 14 x^{14} d x)

\int 14 x^{7} d x - \int 14 x^{14} d x

⇥

{(1 - x^{7})}^{2} \cdot x + \int 14 x^{7} d x - \int 14 x^{14} d x

⇥ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int 14 x^{7} d x

14 \cdot \frac{x^{8}}{8}

- \int 14 x^{14} d x

- 14 \cdot \frac{x^{15}}{15}

⇥

{(1 - x^{7})}^{2} \cdot x + 14 \cdot \frac{x^{8}}{8} - 14 \cdot \frac{x^{15}}{15}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

14 \cdot \frac{x^{8}}{8}

\frac{14 x^{8}}{8}

14 \cdot \frac{x^{15}}{15}

\frac{14 x^{15}}{15}

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{14 x^{8}}{8}

\frac{7 x^{8}}{4}

⇥

{(1 - x^{7})}^{2} \cdot x + \frac{7 x^{8}}{4} - \frac{14 x^{15}}{15}

Depois continuamos a integração:

ⅰ

\int {(1 - x^{7})}^{2} d x

{(1 - x^{7})}^{2} \cdot x + \frac{7 x^{8}}{4} - \frac{14 x^{15}}{15}

▷

{(1 - x^{7})}^{2} \cdot x + \frac{7 x^{8}}{4} - \frac{14 x^{15}}{15}

2) Vamos avaliar no intervalo

[0; 1]

(- \frac{14 \cdot 1^{15}}{15} + \frac{7 \cdot 1^{8}}{4} + 1 \cdot {(1 - 1^{7})}^{2}) - (- \frac{14 \cdot 0^{15}}{15} + \frac{7 \cdot 0^{8}}{4} + 0 \cdot {(1 - 0^{7})}^{2})

ⓘ Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (- \frac{14 \cdot 0^{15}}{15} + \frac{7 \cdot 0^{8}}{4} + 0 \cdot {(1 - 0^{7})}^{2})

\frac{14 \cdot 0^{15}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{8}}{4} + 0 \cdot {(1 - 0^{7})}^{2}

- \frac{14}{15}

+ \frac{7}{4}

+ {(1 - 1)}^{2}

+ \frac{14 \cdot 0^{15}}{15}

- \frac{7 \cdot 0^{8}}{4}

+ 0 \cdot {(1 - 0^{7})}^{2}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores. Escolhemos

60

, o mínimo múltiplo comum de

15

4

. Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número não altera a fração:

- \frac{14}{15} + \frac{7}{4}

\frac{-14 \cdot 4}{15 \cdot 4} + \frac{7 \cdot 15}{4 \cdot 15}

\frac{- 14 \cdot 4 + 7 \cdot 15}{15 \cdot 4}

■Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

1 - 1

0

■Um produto com um fator nulo é nulo:

14 \cdot 0

0

7 \cdot 0

0

0 \cdot 1

0

■Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

\frac{- 14 \cdot 4 + 7 \cdot 15}{15 \cdot 4}

+ 0^{2}

+ 0

+ 0

+ 0

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

\frac{- 14 \cdot 4 + 7 \cdot 15}{15 \cdot 4}

+ 0

+ 0

+ 0

+ 0

\frac{- 14 \cdot 4 + 7 \cdot 15}{15 \cdot 4}

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

14 \cdot 4

(10 + 4) \cdot 4

10 \cdot 4 + 4 \cdot 4

40 + 16

56

7 \cdot 15

7 \cdot (10 + 5)

7 \cdot 10 + 7 \cdot 5

70 + 35

105

ⅰ

15 \cdot 4

(10 + 5) \cdot 4

10 \cdot 4 + 5 \cdot 4

40 + 20

60

\frac{- 56 + 105}{60}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

- 56 + 105

49

▶Integral:

\frac{49}{60}

3) O valor numérico de:

\frac{49}{60}

vale:

▷

\approx 0,8167