integral entre 0 e 1 de ln(4x) — solução passo a passo

1) Vamos integrar:

\int_{0}^{1} \ln (4 x) d x

⇥Para

\ln (4 x)

, utilizamos a integração por partes:

\int u1 \cdot v2' d x = u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

com u1 =

\ln (4 x)

e v2' =

1

⇥1.1) Vamos derivar u1:

\frac{d}{d x} (\ln (4 x))

⇥Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

com f =

4 x

⇥ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (4 x))

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

⇥

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

\frac{\frac{d}{d x} (4 x) \cdot 1}{4 x}

\frac{\frac{d}{d x} (4 x)}{4 x}

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 x)

4

⇥

\frac{4}{4 x}

⇥ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{4}{4 x}

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥Portanto,

u1'

vale

\frac{1}{x}

⇥1.2) Vamos integrar v2':

\int 1 d x

⇥ⓘ A derivada de

x

1

, pelo que

x

é uma primitiva de

1

\int 1 d x

x

⇥

x

⇥1.3) Vamos avaliar

u1' \cdot v2

\frac{1}{x} \cdot x

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{1}{x} \cdot x

\frac{1 \cdot x}{x}

\frac{x}{x}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum

x

\frac{x}{x}

1

⇥

1

⇥1.4) Vamos calcular

u1 \cdot v2 - \int u1' \cdot v2 d x

\ln (4 x) \cdot x - \int 1 d x

⇥ⓘ A derivada de

- x

-1

, pelo que

- x

é uma primitiva de

-1

- \int 1 d x

- x

⇥

\ln (4 x) \cdot x - x

Depois continuamos a integração:

ⅰ

\int \ln (4 x) d x

\ln (4 x) \cdot x - x

▷

\ln (4 x) \cdot x - x

O integrando não está definido em

0

: tomamos o limite da primitiva a partir do interior do intervalo

⇥1.5) Vamos calcular o limite de

x \cdot \ln (4 x) - x

quando

x \to 0

⁺

⇥ⓘ O limite de um produto com limites finitos é o produto dos limites

⇥ O limite de

4 x

é (

4 \cdot 0

)⁺ quando

x \to 0

⁺

⇥Vamos calcular:

4 \cdot 0

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

4 \cdot 0

0

⇥

0

⇥ⓘ É um limite conhecido da função ln

⇥ O limite de

\ln (4 x)

-∞

quando

x \to 0

⁺

⇥Para

x \cdot \ln (4 x)

, obtemos a forma indeterminada

0 \cdot -∞

quando

x

tende para

0

⇥1.6) Para resolver a indeterminação 0 × ∞, reescrevemos o produto

x \cdot \ln (4 x)

como o quociente

\frac{\ln (4 x)}{\frac{1}{x}}

⇥ⓘ Um número não nulo dividido por uma quantidade que tende para 0 torna-se infinitamente grande; os sinais determinam +∞ ou -∞

⇥ O limite de

\frac{1}{x}

+∞

quando

x \to 0

⁺

⇥Para

\frac{\ln (4 x)}{\frac{1}{x}}

, obtemos a forma indeterminada

- \frac{+∞}{+∞}

quando

x

tende para

0

⇥1.7) Aplicamos a regra de l'Hôpital: o limite de

\frac{a}{b}

é o de

\frac{a'}{b'}

, derivando o numerador e o denominador:

⇥1.8) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\ln (4 x))

⇥Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

com f =

4 x

⇥ⓘ A derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (4 x))

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

⇥

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{d}{d x} (4 x) \cdot \frac{1}{4 x}

\frac{\frac{d}{d x} (4 x) \cdot 1}{4 x}

\frac{\frac{d}{d x} (4 x)}{4 x}

■Um fator constante mantém-se à frente da derivada: a de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 x)

4

⇥

\frac{4}{4 x}

⇥ⓘ Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{4}{4 x}

\frac{1}{x}

⇥

\frac{1}{x}

⇥1.9) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} (\frac{1}{x})

⇥Para

p1

1

q2

x

, utilizamos a fórmula de derivação:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

⇥1.10) Vamos derivar

p1

\frac{d}{d x} (1)

⇥ⓘ A derivada de uma constante é nula:

\frac{d}{d x} (1)

0

⇥

0

⇥1.11) Vamos derivar

q2

\frac{d}{d x} (x)

⇥ⓘ A derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

⇥

1

⇥1.12) Avaliamos a derivada obtida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^{2}}

⇥ⓘ Um produto com um fator nulo é nulo:

0 \cdot x

0

■As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

1 \cdot 1

1

⇥

\frac{0 - 1}{x^{2}}

⇥ⓘ Somar 0 não altera o valor:

0 - 1

-1

⇥

- \frac{1}{x^{2}}

⇥1.13) Depois continuamos a derivação:

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{1}{x})

- \frac{1}{x^{2}}

⇥

- \frac{1}{x^{2}}

⇥Com as derivadas do numerador e do denominador obtemos uma nova fração cujo limite podemos determinar:

⇥

\frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}

⇥ⓘ O sinal de uma fração coloca-se à sua frente, quer venha do numerador quer do denominador:

\frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}

- \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}}

⇥

- \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}}

⇥ⓘ Dividir equivale a multiplicar pelo inverso:

- \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}}

- \frac{1}{x} \cdot x^{2}

⇥

- \frac{1}{x} \cdot x^{2}

⇥ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

- \frac{1}{x} \cdot x^{2}

- \frac{1 \cdot x^{2}}{x}

- \frac{x^{2}}{x}

■O denominador inicial deve continuar a ser não nulo. Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador pelo seu fator comum:

- \frac{x^{2}}{x}

- x

⇥

- x

⇥ O limite de

\frac{\ln (4 x)}{\frac{1}{x}}

0

⁻ quando

x \to 0

⁺

⇥O limite de

x \cdot \ln (4 x)

0

⁻ quando

x \to 0

⁺

⇥ⓘ O limite de uma soma com limites finitos é a soma dos limites

⇥Portanto, o limite de

x \cdot \ln (4 x) - x

0

⁻ quando

x \to 0

⁺

2) Vamos avaliar no intervalo

[0; 1]

1 \cdot \ln (4 \cdot 1) - 1

\ln (4) - 1

ⓘ O logaritmo de uma potência é um múltiplo do logaritmo,

\ln (a^{n}) = n \cdot \ln (a)

\ln (4)

\ln (2^{2})

2 \cdot \ln (2)

▶Integral:

2 \cdot \ln (2) - 1

3) O valor numérico de:

2 \cdot \ln (2) - 1

vale:

2 \cdot \approx 0,6931 - 1

\approx 1,3863 - 1

▷

\approx 0,3863