integral entre 0 e 1 de sqrt(x+16) — solução passo a passo

1) Vamos integrar:

\int_{0}^{1} \sqrt{x + 16} d x

Para a expressão matemática

\sqrt{x + 16}

, sabendo que (a^n)' = n*a'*a^(n - 1), tentamos derivar

{(x + 16)}^{\frac{1}{2} + 1}

2) Vamos derivar:

\frac{d}{d x} ({(x + 16)}^{\frac{1}{2} + 1})

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{1}{2} + 1

\frac{1 + 2}{2}

\frac{d}{d x} ({(x + 16)}^{\frac{1 + 2}{2}})

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 + 2

3

\frac{d}{d x} ({(x + 16)}^{\frac{3}{2}})

Utilizamos a fórmula de derivação

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

com f =

x + 16

ⓘ A derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x + 16)}^{\frac{3}{2}})

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 16) \cdot \sqrt{x + 16}

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 16) \cdot \sqrt{x + 16}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 16) \cdot \sqrt{x + 16}

\frac{3 \cdot \frac{d}{d x} (x + 16) \cdot \sqrt{x + 16}}{2}

■A derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d}{d x} (x + 16)

1 + 0

\frac{3 \cdot (1 + 0) \cdot \sqrt{x + 16}}{2}

ⓘ Somar 0 não altera o valor:

1 + 0

1

\frac{3 \cdot \sqrt{x + 16}}{2}

A derivada calculada e a expressão matemática inicial coincidem a menos de um fator constante. Portanto, a integral é:

ⓘ A derivada de

\frac{2}{3} \cdot {(x + 16)}^{\frac{3}{2}}

\sqrt{x + 16}

, pelo que

\frac{2}{3} \cdot {(x + 16)}^{\frac{3}{2}}

é uma primitiva de

\sqrt{x + 16}

\int \sqrt{x + 16} d x

\frac{2}{3} \cdot {(x + 16)}^{\frac{3}{2}}

\frac{2}{3} \cdot {(x + 16)}^{\frac{3}{2}}

ⓘ Multiplicar uma fração por um termo equivale a multiplicar o seu numerador:

\frac{2}{3} \cdot {(x + 16)}^{\frac{3}{2}}

\frac{2 \cdot {(x + 16)}^{\frac{3}{2}}}{3}

▷

\frac{2 \cdot {(x + 16)}^{\frac{3}{2}}}{3}

3) Vamos avaliar no intervalo

[0; 1]

\frac{2 \cdot {(1 + 16)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot {(0 + 16)}^{\frac{3}{2}}}{3}

ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

1 + 16

17

■Somar 0 não altera o valor:

0 + 16

16

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações:

16^{\frac{3}{2}}

16 \cdot \sqrt{16}

\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 16 \cdot \sqrt{16}}{3}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações:

17^{\frac{3}{2}}

17 \cdot \sqrt{17}

■A raiz quadrada de um número real não negativo é o número não negativo cujo quadrado é esse número:

\sqrt{16}

4

pois

4^{2}

16

ⅰ

2 \cdot 16

2 \cdot (10 + 6)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 6

20 + 12

32

\frac{2 \cdot 17 \cdot \sqrt{17}}{3} - \frac{32 \cdot 4}{3}

ⅰ

2 \cdot 17

2 \cdot (10 + 7)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 7

20 + 14

34

■

32 \cdot 4

(30 + 2) \cdot 4

30 \cdot 4 + 2 \cdot 4

120 + 8

128

\frac{34 \cdot \sqrt{17}}{3} - \frac{128}{3}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores:

\frac{34 \cdot \sqrt{17}}{3} - \frac{128}{3}

\frac{34 \cdot \sqrt{17} - 128}{3}

▶Integral:

\frac{34 \cdot \sqrt{17} - 128}{3}

4) O valor numérico de:

\frac{34 \cdot \sqrt{17} - 128}{3}

vale:

\frac{34 \cdot \approx 4,1231 - 128}{3}

\frac{\approx 140,1856 - 128}{3}

\frac{\approx 12,1856}{3}

▷

\approx 4,0619