integral entre 0 e 1 de x^2(x^3-2)^3

1) Vamos calcular a integral:

\int_{0}^{1} x^{2} \cdot {(x^{3} - 2)}^{3} d x

Fazemos

u = x^{3} - 2

. Então

du = 3 x^{2} \cdot dx

, pelo que

x^{2} \cdot dx = \frac{du}{3}

\int x^{2} \cdot {(x^{3} - 2)}^{3} d x = \frac{1}{3} \cdot \int u^{3} d u

Uma primitiva de

u^{3}

\frac{u^{4}}{4}

Substituímos

u

por

x^{3} - 2

na primitiva

ⅰ

\int x^{2} \cdot {(x^{3} - 2)}^{3} d x

\frac{{(x^{3} - 2)}^{4}}{12}

▷

\frac{{(x^{3} - 2)}^{4}}{12}

2) Vamos avaliar no intervalo

[0; 1]

\frac{{(1^{3} - 2)}^{4}}{12} - \frac{{(0^{3} - 2)}^{4}}{12}

ⓘ Primeiro calculamos o que está entre parênteses:

1 - 2

-1

■Somar 0 não altera o valor:

0 - 2

-2

■As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-2)}^{4}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

16

\frac{{(-1)}^{4}}{12} - \frac{16}{12}

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

{(-1)}^{4}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

1

■Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

4

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{16}{12}

- \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4}

- \frac{4}{3}

\frac{1}{12} - \frac{4}{3}

ⓘ Para somar frações, reduzimo-las ao mesmo denominador e somamos os numeradores. Escolhemos

12

, o mínimo múltiplo comum de

12

3

. Multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número não altera a fração:

\frac{1}{12} - \frac{4}{3}

\frac{1}{12} + \frac{-4 \cdot 4}{3 \cdot 4}

\frac{1 - 4 \cdot 4}{12}

\frac{1 - 4 \cdot 4}{12}

ⓘ As multiplicações efetuam-se antes das adições e das subtrações:

4 \cdot 4

16

\frac{1 - 16}{12}

ⓘ O numerador e o denominador calculam-se antes da divisão:

1 - 16

-15

- \frac{15}{12}

ⓘ Simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por

3

, o seu máximo divisor comum:

- \frac{15}{12}

- \frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 3}

- \frac{5}{4}

▶Integral:

- \frac{5}{4}

3) O valor numérico de:

- \frac{5}{4}

vale:

▷

-1,25