integral entre 0 e 2 de (4x^3-3x^2+2x)

Vamos calcular a integral:

\int_{0}^{2} (4 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x) d x

ⅰ

\int (4 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x) d x

\int 4 x^{3} d x - \int 3 x^{2} d x + \int 2 x d x

\int 4 x^{3} d x - \int 3 x^{2} d x + \int 2 x d x

ⓘ Um fator constante mantém-se à frente da integral. Uma primitiva de

x^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, para

n

constante e

n \neq -1

\int 4 x^{3} d x

4 \cdot \frac{x^{4}}{4}

- \int 3 x^{2} d x

- 3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\int 2 x d x

2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

4 \cdot \frac{x^{4}}{4} - 3 \cdot \frac{x^{3}}{3} + 2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

ⓘ Multiplicar uma fração por um número equivale a multiplicar o seu numerador:

4 \cdot \frac{x^{4}}{4}

\frac{4 x^{4}}{4}

3 \cdot \frac{x^{3}}{3}

\frac{3 x^{3}}{3}

2 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{2 x^{2}}{2}

■Simplificamos uma fração dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número não nulo:

\frac{4 x^{4}}{4}

x^{4}

- \frac{3 x^{3}}{3}

- x^{3}

\frac{2 x^{2}}{2}

x^{2}

▷

x^{4} - x^{3} + x^{2}

Vamos avaliar no intervalo

[0; 2]

(2^{4} - 2^{3} + 2^{2}) - (0^{4} - 0^{3} + 0^{2})

ⓘ As potências calculam-se antes das multiplicações, adições e subtrações. Uma potência de expoente inteiro estritamente positivo é um produto repetido:

2^{4}

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

16

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Um sinal de menos antes de um parêntese muda o sinal de cada termo no seu interior:

- (0^{4} - 0^{3} + 0^{2})

- 0^{4} + 0^{3} - 0^{2}

16

- 8

+ 4

- 0^{4}

+ 0^{3}

- 0^{2}

ⓘ Partimos de

16

e recuamos

8

na reta numérica:

16 - 8

8

■Somar 0 não altera o valor:

4

+ 0

+ 0

+ 0

4

8 + 4

ⓘ Partimos de

8

e avançamos

4

na reta numérica:

8 + 4

12

▶Integral:

12